1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

serie matematica di numeri interi a segno alternato
(Reindirizzamento da 1-2+4-8...)

In matematica, 1 − 2 + 4 − 8 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di due a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −2.

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

che corrisponde a .

Sommatoria numero 1 modifica

Analizziamo ora la prima sommatoria:  .

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere   facendo diventare la somma  ;

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che: 

Sommatoria numero 2 modifica

Analizziamo ora la seconda sommatoria:  .

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere   facendo diventare la somma  , il   si può portare fuori e ottenere  .

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che: .

Somma parziale modifica

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Valore Dispari modifica

Caso nº1: il numero è dispari.

 
 
 
 

La somma diventa quindi: 

Più precisamente abbiamo che: 

Valore Pari modifica

Caso nº2: il numero è pari.

 
 
 
 

La somma diventa quindi:  .

In generale modifica

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari =  

m pari =  

Voci correlate modifica

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