Operatore aggiunto

In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Se A è un operatore, l'aggiunto di A si scrive A^* o A^† (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

Definizione

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

Spazio di Banach

Siano $X$ e $Y$ spazi di Banach e $T:X\to Y$ un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di $T$ l'operatore lineare limitato $T':Y^{*}\to X^{*}$ definito dalla relazione:

$(T'\phi )(x)=\phi (Tx)\qquad \forall x\in X\quad \forall \phi \in Y^{*}$

dove l'asterisco denota lo spazio duale.

La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da $X$ a $Y$ allo spazio degli operatori lineari limitati da $Y^{*}$ a $X^{*}$. Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.

Spazio di Hilbert

Sia $V$ uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano $\langle ,\rangle$, e sia $A$ un operatore lineare continuo in $V$. Per ogni $\mathbf {w}$ di $V$ si definisce il funzionale lineare:

$L_{w}:V\longrightarrow \mathbf {C}$

tale che:

$L_{w}(\mathbf {v} )=\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$

per ogni $\mathbf {v}$ di $V$. Si tratta di un operatore continuo poiché $A$ è continuo e così pure il prodotto hermitiano.

Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento $\mathbf {w} '$ tale che:

$\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle$

Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A^* tale che:

$\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle$

ovvero:

$\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle$

Se M è la matrice che rappresenta $A$ rispetto ad una base di $V$, la matrice che rappresenta $A^{*}$ rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.

Vale inoltre il teorema che se l'operatore $A^{*}$ è aggiunto di $A$ allora:

$\|A\|=\|A^{*}\|$

L'operatore aggiunto $A^{*}$ è dunque tale che:

$\mathbf {w} '=A^{*}\mathbf {w} \$

La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:

$|\langle A^{*}\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {w} \|\|A\|\|\mathbf {v} \|$

dalla quale si ha che:

${\frac {\|A^{*}\mathbf {w} \|}{\|\mathbf {w} \|}}\leq \|A\|$

Se $A=A^{*}$ si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:

$\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle$

Operatori non limitati

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.

Sia $H$ uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano $\langle ,\rangle$ e sia $A$ un operatore lineare densamente definito in $H$. Sia $D(A^{*})$ l'insieme di tutti gli elementi $\phi \in H$ tali per cui esiste $\eta \in H$ tale che:

$\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,\eta \rangle \qquad \forall \psi \in D(A)$

Per ogni $\phi \in D(A^{*})$ si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^{*}$ tale che:

$A^{*}\phi =\eta \$

ovvero:

$\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,A^{*}\phi \rangle$

Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che $\phi \in D(A^{*})$ se e solo se:

$|\langle A\psi ,\phi \rangle |\leq C\|\psi \|\qquad \forall \psi \in D(A)$

Proprietà

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:

• $A^{**}=A\$
• Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:

$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\$

• $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\$ se A o B sono limitati
• Se $\lambda$ è un numero complesso si ha:

$(\lambda A)^{*}=\lambda ^{*}A^{*}\$

• $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}\$

Inoltre, la relazione tra l'immagine di $A$ ed il nucleo dell'aggiunto è data da:

$\ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot }$

Infatti:

${\begin{aligned}A^{*}\mathbf {v} =0&\iff \langle A^{*}\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0\quad \forall \mathbf {w} \in H\\&\iff \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle =0\quad \forall \mathbf {w} \in H\\&\iff \mathbf {v} \ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}$

ed inoltre:

$\left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}$

che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

Spettro dell'operatore aggiunto

Lo spettro $\sigma (T)$ ed il risolvente $R_{\lambda }(T)$ di un operatore $T$ definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:

$\sigma (T^{*})=\{\lambda :{\bar {\lambda }}\in \sigma (T)\}\qquad R_{\lambda }(T^{*})=R_{\lambda }(T)^{*}$

Se $\lambda$ appartiene allo spettro residuo di $T$, allora $\lambda$ appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto $T'$. Se invece $\lambda$ appartiene allo spettro puntuale di $T$, allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di $T'$.

Inoltre, se $T$ è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:

• $T$ non ha spettro residuo.
• Lo spettro $\sigma (T)$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R}$,ovvero gli autovalori sono reali.
• Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Operatore (matematica)
• Operatore limitato
• Operatore autoaggiunto
• Operatore lineare continuo
• Operatore unitario