Brachistocrona

In fisica matematica, la brachistocrona (dal greco βράχιστος, brachistos - il più breve, χρόνος, chronos - tempo)^[1] è una traiettoria fra due punti che verifica il principio di Fermat. Costituisce un elemento fondamentale nello studio della meccanica classica e dell'ottica geometrica, collegandosi alla legge di Snell^[2].

Esempio meccanico modifica

La sfera che percorre la cicloide raggiunge il punto di arrivo prima di tutte le altre.

Siano $A$ e $B$ due punti fissati. Consideriamo una massa puntiforme $M$ che si muove in un piano verticale su una guida curva che connette due punti $A$ e $B$ ^[3]; la massa $M$ è soggetta al campo di gravità. Il tempo che $M$ impiega per andare da $A$ a $B$ , con velocità iniziale nulla, dipende dalla traiettoria, che è determinata dalla forma della guida. Contrariamente a quanto si pensa, il tempo non è minimo se la guida è quella di lunghezza minima fra $A$ e $B$ (cioè rettilinea). La curva che permette alla particella di andare dal punto $A$ al punto $B$ nel minor tempo possibile è una cicloide ed è chiamata brachistocrona, ossia curva del tempo più corto, e la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.

La soluzione del problema è quindi una cicloide che ha come estremi i punti $A$ e $B$ .

Storia modifica

Discesa brachistocrona di Francesco Spighi (XVII secolo, Museo Galileo di Firenze).

Già Galilei aveva notato che una sfera che rotola lungo un arco di cerchio arriva prima alla sua estremità rispetto a una che percorre la corda corrispondente, anche se la traiettoria di quest'ultima è più corta.

Il problema fu però proposto per la prima volta in forma ufficiale da Johann Bernoulli nel giugno del 1696.^[4] Nella sua introduzione egli accennava al fatto che esso fosse difficoltoso anche per quei matematici che avevano ampliato la matematica con dei teoremi "che (essi dicono) non erano conosciuti da nessuno", con evidente allusione e sfida a Newton, che era schierato contro di lui nella disputa Newton-Leibniz. Il problema circolò in tutta Europa e dopo poco tempo arrivarono una risposta di Leibniz, una di de l'Hopital e una dall'Inghilterra non firmata: Bernoulli riconobbe subito Newton come l'autore. Si dice addirittura che il grande scienziato inglese risolse il problema in una notte dopo un'estenuante giornata di lavoro.

In seguito anche Alexis Fontaine des Bertins e Jakob, fratello rivale di Johann Bernoulli, risolsero il problema.

Note modifica

^ Brachistochrone, in 1911 Encyclopædia Britannica, Volume 4. URL consultato il 25 aprile 2020.
^ Ugo Gasparini, Martino Margoni e Franco Simonetto, Fisica Elettromagnetismo e Onde, 2021, pp. 334-335, ISBN 978-88-299-3195-8.
^ La guida si suppone priva di attrito; sostituendo il punto materiale con un corpo reale, ad esempio una sferetta che rotola, alcuni parametri del problema cambiano ma nella sostanza il risultato è lo stesso.
^ (LA) Johann Bernoulli, Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur, in Acta Eruditorum, vol. 18, Christoph Günther, giugno 1696, p. 269. URL consultato il 25 aprile 2020.