Calotta

In geometria, si dice calotta sferica ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante. Se il piano secante passa per un diametro della sfera le due parti si dicono emisferi. Il volume compreso tra la calotta e il piano secante è detto segmento sferico.

Due calotte sferiche generate da un piano secante una sfera. Sono evidenziate le dimensioni caratteristiche della calotta minore

Il cerchio delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto base della calotta. Il raggio passante per il centro della base è un asse di simmetria per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto vertice; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta altezza della calotta.

Formule

L'area della superficie della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:

$S=2\pi rh,$

dove $r$ e $h$ sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se $\Omega$ è l'angolo solido sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:

$S=\Omega r^{2}.$

Se si introduce l'apertura $\alpha$ del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare angolo solido) si ottengono le notevoli relazioni:

$h=r\left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right),$

$\Omega =2\pi \left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).$

Il volume della calotta sferica è dato da:

$V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right).$

oppure da:

$V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),$

La relazione tra l'altezza $h$, il raggio di base della calotta $a$ e il raggio della sfera $r$ è data da:

$h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}},$

$r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}},$

dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.

Voci correlate

• Segmento circolare
• Arco di circonferenza
• Sfera
• Geometria sferica

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Formulario della sfera, su math.it.