Cardinale inaccessibile

In teoria degli insiemi, un numero cardinale $\aleph _{\alpha }$ si dice inaccessibile se:

• $\aleph _{\alpha }$ non è un cardinale successore (ovvero $\alpha$ non è un ordinale successore)
• $\aleph _{\alpha }$ è regolare, ovvero data una famiglia di cardinali $\{K_{i}\}_{i\in I}$, si ha:

$K_{i}<\aleph _{\alpha },|I|<\aleph _{\alpha }\Rightarrow \sum _{i\in I}K_{i}<\aleph _{\alpha }$

• $\beta <\aleph _{\alpha }\rightarrow 2^{\beta }<\aleph _{\alpha }$

Questi requisiti sono soddisfatti da $\aleph _{0}$: l'unione di finiti insiemi finiti è sempre un insieme finito, così come l'insieme potenza di un insieme finito è sempre finito.

Però oltre $\aleph _{0}$ non si conosce nessun cardinale che soddisfi questi requisiti. Anzi, si può dire di più.

Si può infatti dimostrare che se esistesse un qualsiasi cardinale inaccessibile $K$ maggiore di $\aleph _{0}$, allora $V_{K}$ sarebbe un buon modello per la ZF, dove $V_{i}$ è l'$i$-esimo elemento della gerarchia di Von Neumann; dimostrare che un tale cardinale inaccessibile esiste equivarrebbe a dimostrare che esiste un modello per la ZF, ovvero a dimostrare la coerenza di ZF.

D'altronde, il secondo teorema di incompletezza di Gödel stabilisce che la coerenza di ZF non può essere dimostrata all'interno della ZF stessa; da ciò deriva che l'esistenza di un cardinale inaccessibile maggiore di $\aleph _{0}$ non è decidibile all'interno della ZF (su cui si basa la costruzione formale di tutta la matematica moderna).

Riassumendo in formule: $ZF\vdash \left[(V_{\alpha }\vDash ZF)\Leftrightarrow (\exists \alpha {\text{ cardinale inaccessibile}}>\aleph _{0})\right]\Rightarrow ZF\not \vdash (\exists \alpha {\text{ cardinale inaccessibile }}>\aleph _{0})$

Collegamenti esterni

• Cardinale inaccessibile, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cardinale inaccessibile, su MathWorld, Wolfram Research.