Classe limite

In analisi matematica, la classe limite è un concetto legato a quello di sottosuccessione e limite di una successione. Si tratta dell'insieme dei valori cui è possibile far tendere una sottosuccessione di una data successione, e come tale può essere di cardinalità finita o infinita, ma non l'insieme vuoto.

Definizione

Sia $\{x_{n}\}_{n}$ una successione di numeri reali; si dice che $\alpha$ è un valore limite della successione se esiste una sottosuccessione $\{x_{n_{k}}\}_{k}$ per cui

$\lim _{k\to +\infty }{x_{n_{k}}}=\alpha$.

Non è necessario che la successione sia regolare (cioè convergente o divergente); infatti anche una successione irregolare ammette sempre sottosuccessioni regolari.

La classe limite della successione è l'insieme dei valori limite; cioè, se $C$ indica la classe limite di $\{x_{n}\}_{n}$:

$C=\{\alpha \in \mathbb {R} :\exists \{x_{n_{k}}\}_{k}{\underset {k\to +\infty }{\ \ \longrightarrow \ \alpha }}\}$.

Esempi

• $x_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}$;

In questo caso $C=\{-1,0,1\}$; infatti $\{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-1,\cdots \}$, quindi una sottosuccessione può constare solo dei valori $0,1,-1$; le sottosuccessioni banali del tipo $\{x_{2n}\}_{n}=\{0,0,0,\cdots \},\{x_{4n+1}\}=\{1,1,1,\cdots \},\{x_{4n-1}\}=\{-1,-1,-1,\cdots \}$, ad esempio, ammettono come valori limite $0,1,-1$ rispettivamente.

• $x_{n}=n\sin {\frac {n\pi }{2}}$;

In questo caso $C=\{-\infty ,0,+\infty \}$; infatti $\{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-2,0,3,\cdots \}$, e una sottosuccessione deve valere definitivamente zero o in alternativa non essere limitata.

Proprietà

La classe limite di una successione non è mai vuota. Infatti, se $\{x_{n}\}_{n}$ è limitata, allora la sua chiusura è compatta, e quindi la successione ammette una sottosuccessione convergente (teorema di Bolzano-Weierstrass). Se invece non è limitata superiormente (o inferiormente), si può trovare una sottosuccessione del tipo $\{x_{j}\}_{j}$ con

$x_{j}={\underset {i<j}{\max }}{\ x_{i}}$

(o

$x_{j}={\underset {i<j}{\min }}{\ x_{i}}$)

che ammette come limite $+\infty$ (o $-\infty$).

L'intersezione tra la classe limite e l'insieme dei numeri reali (cioè la classe limite cui sono stati tolti eventualmente i punti all'infinito) è un insieme chiuso. Infatti, se $\alpha \in \mathbb {R}$ è di accumulazione per $C\cap \mathbb {R}$, allora esistono $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n},\cdots$ che avvicinano indefinitamente $\alpha$; questi $\alpha _{i}$ sono limiti di sottosuccessioni di $\{x_{n}\}$, quindi possiamo trovare una sottosuccessione che si avvicina indefinitamente ad $\alpha$, usando come "paletti" i valori limite $\alpha _{i}$ (cui possiamo avvicinarci a piacere per sottosuccessioni).

Inoltre la classe limite, intesa come sottoinsieme di ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ (il cosiddetto $\mathbb {R}$ esteso) ammette sempre massimo e minimo; infatti, se $\{x_{n}\}$ è illimitata (ad esempio superiormente), allora $+\infty \in C$, e $\max C=+\infty$; altrimenti, se $\{x_{n}\}$ è limitata (ad esempio superiormente), allora lo è anche $C$ (o esisterebbe un valore limite strettamente maggiore dell'estremo superiore della successione), e poiché $C\cap \mathbb {R}$ è chiuso, esso contiene il proprio superiore, e quindi ammette massimo. Un analogo ragionamento prova che la classe limite ammette minimo.

Limite superiore e limite inferiore

Data una successione, si definisce limite superiore di tale successione il massimo della sua classe limite:

${\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\overline {\lim }}}{x_{n}}:=\max {C}$;

similmente si definisce il limite inferiore di tale successione il minimo della sua classe limite:

${\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\underline {\lim }}}{x_{n}}:=\min {C}$.

È chiaro, per le argomentazioni del paragrafo precedente, che tali valori esistono sempre. In generale, essi saranno differenti (ovviamente si avrà $\liminf x_{n}\leq \limsup x_{n}$); se tuttavia questi valori coincidono, se cioè la classe limite consta di un solo elemento, allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso valore limite. Questa è condizione necessaria e sufficiente per garantire la convergenza della successione principale, cioè:

$\exists \lim _{n\to +\infty }{x_{n}}\in {\overline {\mathbb {R} }}\iff {\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}\iff |C|=1$,

dove $|\cdot |$ indica la cardinalità dell'insieme.

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

• Successione (matematica)
• Sottosuccessione
• Limite di una successione
• Limite superiore e limite inferiore