Complemento di Schur

In algebra lineare e nella teoria delle matrici, il complemento di Schur è una costruzione che prende il nome dal matematico tedesco Issai Schur (1875-1941).

Definizione

Supponiamo che A, B, C e D siano matrici rispettivamente di tipo p×p, p×q, q×p e q×q, e che D sia invertibile. Queste matrici siano i blocchi della matrice di tipo (p+q)×(p+q)

$M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]$ .

Allora si definisce complemento di Schur del blocco D della matrice M la matrice di aspetto p×p

$\,A-BD^{-1}C$ .

Se M è una matrice simmetrica definita positiva, si dimostra che è tale anche il complemento di Schur di D in M.

Applicazioni alla teoria della probabilità e alla statistica

Consideriamo due vettori colonna casuali X e Y appartenenti a Rⁿ e R^m rispettivamente, e il vettore (X′, Y′)′ (dove a′ denota la trasposta di a); supponiamo che quest'ultimo abbia una distribuzione normale multivariata la cui varianza è la matrice simmetrica definita positiva

$V=\left[{\begin{matrix}A&B\\B'&C\end{matrix}}\right]$ .

Allora la varianza condizionale di X dato Y è il complemento di Schur di C in V:

$\operatorname {var} (X\mid Y)=A-BC^{-1}B'$ .

Se assumiamo che la precedente matrice V non sia una varianza di un vettore casuale, ma una varianza campione, allora questa può avere una distribuzione di Wishart. In questo caso, anche il complemento di Schur di C in V presenta una distribuzione di Wishart.