Consistenza (statistica)

In statistica, la consistenza è una proprietà di desiderabilità degli stimatori. In sostanza uno stimatore è consistente se, all'aumentare dell'informazione, ossia della numerosità del campione, la sua distribuzione di probabilità si concentra in corrispondenza del valore del parametro da stimare.

Definizione

Se $X=\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ è un campione, e $n$ la sua dimensione.

• Uno stimatore $T_{n}(X)$ per un parametro $\vartheta$ si dice consistente in senso debole se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge in probabilità al valore del parametro:

$\lim _{n\rightarrow \infty }P\left\{|T_{n}(X)-\vartheta |>\varepsilon \right\}=0\quad \forall \ \varepsilon >0.$

• Uno stimatore $T_{n}(X)$ per un parametro $\vartheta$ si dice consistente in senso forte se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge quasi certamente al valore del parametro.

Condizione sufficiente

Nella pratica non sempre è facile dimostrare la consistenza di uno stimatore sulla base della definizione presentata sopra. È spesso più semplice ricorrere al seguente risultato.

Condizione sufficiente affinché uno stimatore $T_{n}(X)$ per un parametro $\vartheta$ sia consistente in senso debole è che:

1. $\lim _{n\rightarrow \infty }{\textrm {E}}[T_{n}(X)]=\vartheta$ (correttezza asintotica);
2. $\lim _{n\rightarrow \infty }{\textrm {var}}\left(T_{n}(X)\right)=0$.

Esempi

Se $X_{1},\ldots ,X_{n}$ è un campione indipendente e identicamente distribuito e se $\mu$ è la media comune delle X ($\mu =E(X_{i})$), allora la media campionaria ${\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$ è uno stimatore consistente in senso forte in virtù della legge forte dei grandi numeri.

Se $X_{1},\ldots ,X_{n}$ è un campione dove le $X_{i}$ hanno media comune $\mu$, varianza comune finita e sono incorrelati, allora la media campionaria ${\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$ è uno stimatore consistente in senso debole in virtù della legge debole dei grandi numeri.

Voci correlate

• Stimatore
• Correttezza (statistica)
• Efficienza (statistica)
• Sufficienza (statistica)
• Completezza (statistica)