Copertura lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme. La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Siano $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ vettori di $V$. Una copertura lineare di tali vettori è il sottospazio vettoriale:

$\mathrm {Span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}$

Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ovvero il sottoinsieme di $V$ formato da tutte le possibili combinazioni lineari nel campo considerato. Se il numero $n$ di vettori è uguale alla dimensione del sottospazio generato, allora essi sono linearmente indipendenti, ovvero l'insieme di generatori che formano è una base del sottospazio.

La copertura lineare è, in altre parole, il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$, essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente questi vettori.

Chiusura

La trasformazione di un insieme di vettori di $V$ nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione $\mathrm {Span}$, costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se $S$ e $T$ sono insiemi di vettori di $V$ tali che $S\subset T$, allora:

${\rm {Span}}(S)\subseteq {\rm {Span}}(T)$

In particolare, se $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ e $T=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{n+1}\}$ è ottenuto da $S$ aggiungendo un vettore $\mathbf {v} _{n+1}$, il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore $\mathbf {v} _{n+1}$ è già contenuto in questo, cioè:

${\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n+1})={\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

se e solo se:

$\mathbf {v} _{n+1}\in {\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

Basi e dimensione

Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da $n$ vettori è al più $n$, ed è proprio $n$ se e solo se questi sono indipendenti.

Esempi

Nel piano

In $\mathbb {R} ^{2}$, i vettori $(1,2)$ e $(2,4)$ sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente si scrive ${\rm {Span}}\{(1,2),(2,4)\}={\rm {Span}}\{(1,2)\}$. I vettori $(1,2)$ e $(2,1)$ invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro $\mathbb {R} ^{2}$: uno spazio di dimensione $n$ ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione $n$, e perciò ${\rm {Span}}\{(1,2),(2,1)\}=\mathbb {R} ^{2}$.

Nello spazio

In $\mathbb {R} ^{3}$, i vettori $(1,2,3)$, $(4,-2,1)$, $(3,-4,-2)$ sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Si hanno quindi ${\rm {Span}}\{(1,2,3),(4,-2,1),(3,-4,-2)\}={\rm {Span}}\{(1,2,3),(4,-2,1)\}$, e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un piano.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Rynne & Youngson (2001). Linear functional analysis, Springer.

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Insieme di generatori
• Sottospazio vettoriale
• Spazio vettoriale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Copertura lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• (EN) Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele e Anne Schilling, Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics (PDF), su math.ucdavis.edu, University of California, Davis, 13 febbraio 2010. URL consultato il 27 settembre 2011 (archiviato dall'url originale il 7 dicembre 2011).