Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing

La costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (il nome deriva dai matematici Carl Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing) è una costante matematica che si incontra in combinatoria ed è importante nello studio dell'efficienza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore. Non è noto se sia irrazionale. È legata alla funzione Zeta di Riemann.

Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing
Simbolo	λ
Valore	0,303663002898732658... (sequenza A038517 dell'OEIS)
Origine del nome	Carl Friedrich Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing
Frazione continua	[0, 3, 3, 2, 2, 3, 13, 1, 174, 1, 1, 1, ...] (sequenza A007515 dell'OEIS)
Campo	numeri reali

Definizione

Sia G l'operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing, cioè:

$[Gf](x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).$

L'autovalore maggiore in valore assoluto è 1 e corrisponde alla funzione:

${\frac {\ln 2}{1+x}}.$

Il secondo autovalore è la costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing e vale all'incirca:

$\lambda =0,30366300289...$

Eduard Wirsing ha mostrato che, se $F_{n}(x)$ è la distribuzione Gauss-Kuzmin, allora:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}(x)-\ln(1-x)}{(-\lambda )^{n}}}=\Psi (x),$

dove $\Psi (x)$ è una funzione analitica tale che $\Psi (0)=\Psi (1)=0$.

Relazione con la funzione Zeta di Riemann

L'operatore GKW è legato alla funzione Zeta di Riemann. La funzione Zeta di Riemann può essere scritta così:

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx$

questo implica che:

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}dx\;x\left[Gx^{s-1}\right]$

dopo un cambio di variabile.

Voci correlate

• Distribuzione Gauss-Kuzmin
• Operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing, su MathWorld, Wolfram Research.
• Tutte le cifre della costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (TXT), su pi.lacim.uqam.ca. URL consultato il 20 settembre 2005 (archiviato dall'url originale l'8 gennaio 2006).