Costante di Chinčin

Costante di Chinčin
Simbolo	$K_{0}$
Valore	2,685452001065306445... (sequenza A002210 dell'OEIS)
Origine del nome	Aleksandr Yakovlevich Khinchin
Frazione continua	[2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, ...] (sequenza A002211 dell'OEIS)
Campo	numeri reali
Il grafico mostra come, numericamente, la media geometrica dei quozienti parziali della frazione continua di π (in rosso), γ (in blu) e 2${\sqrt[{3}]{2}}$ (in verde) sembrino convergere alla costante di Khinchin.

In teoria dei numeri, la costante di Khinchin è una costante matematica che ha la proprietà di essere il limite, per quasi tutti i numeri reali, della media geometrica dei primi n quozienti parziali della loro frazione continua. L'esistenza di questa costante, indipendente dal numero di partenza, è stata dimostrata da Aleksandr Yakovlevich Khinchin. È denotata con K₀.

Il suo valore è

$K_{0}\approx 2.6854520010\dots$

Non è noto se la costante di Khinchin sia irrazionale.

Tra i numeri che non hanno questa proprietà vi sono i numeri razionali, gli irrazionali quadratici ed e; si suppone invece che π, la costante di Eulero-Mascheroni γ e la stessa costante di Khinchin la verifichino, ma questo non è stato dimostrato né per loro né per alcun altro numero, sebbene siano state costruite successioni la cui media geometrica tende a K₀.

Formule

Vi sono varie formule che esprimono la costante di Khinchin. Come produttoria, si ha

$K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left\{1+{\frac {1}{r(r+2)}}\right\}}^{\log _{2}r}$

mentre usando la funzione zeta di Riemann si ha

$\ln K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$

Due rappresentazioni integrali sono

$\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x(1+x)}}\ln[\Gamma (2-x)\Gamma (2+x)]\mathrm {d} x$

dove Γ indica la funzione Gamma, e

$\ln(K_{0})\ln 2=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln(\lfloor t\rfloor )}{t(1+t)}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(\lfloor 1/t\rfloor )}{1+t}}\mathrm {d} t$

Ulteriori costanti

Generalizzando la media geometrica, è stato dimostrato che per quasi tutti gli x la media

$K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}$

è indipendente da x, e pari a

$K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}$

Per $p\to 0$, il limite di K_p è la costante di Khinchin.

Bibliografia

• David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall, On the Khintchine Constant (PDF), in Math. Comp., vol. 66, n. 217, 1995, pp. 417-431 (archiviato dall'url originale il 6 luglio 2010).

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Chinčin, su MathWorld, Wolfram Research.