Criterio di Cartan

In matematica, il criterio di Cartan è una condizione che, se soddisfatta, prova che un'algebra di Lie è risolubile. Questo implica anche l'esistenza di un criterio per provare che un'algebra di Lie è semisemplice. È basato sulla nozione di forma di Killing, ed è stato introdotto da Élie Cartan nel 1894.

Criterio di Cartan per la risolubilità

Il criterio afferma che:

Sia ${\mathfrak {g}}$ un'algebra di Lie formata da endomorfismi, ovvero sottoalgebra dell'algebra generale lineare $GL(V)$ definita su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita, su un campo $F$ di caratteristica zero. Allora ${\mathfrak {g}}$ è risolubile se e solo se per ogni $a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].$ si ha $Tr(ab)=0$.

Applicando il criterio di Cartan alla rappresentazione aggiunta, si ottiene un risultato più generale:

Sia ${\mathfrak {g}}$ un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo $F$ di caratteristica zero. Allora ${\mathfrak {g}}$ è risolubile se e solo se $K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0$, dove $K$ è la forma di Killing di ${\mathfrak {g}}$

Criterio di Cartan per la semisemplicità

Una conseguenza del criterio è il seguente criterio per la semisemplicità:

Sia ${\mathfrak {g}}$ un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo $F$ di caratteristica zero. Allora ${\mathfrak {g}}$ è semisemplice se e solo se la sua forma di Killing è non-degenere

Bibliografia

• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4