Wikipedia

Decadimento audioattivo

Gioco matematico

Il decadimento audioattivo è un gioco matematico, studiato in modo approfondito da John Conway, che consiste nel prendere una stringa qualunque di numeri e trasformarla in un'altra secondo la regola:

Se si trovano n cifre adiacenti uguali ad x, al loro posto si sostituisce nx.

Esempio: se si ha una stringa fatta così:

222

al suo posto si sostituisce 32 (sono tre cifre "due"). Al passo successivo, alla stringa 32 si sostituisce 1312 (un "tre" e un "due"). Al passo dopo, la stringa diventa 11131112, e così via. Questo procedimento porta alla costruzione di stringhe composte da determinate sequenze di base, o "atomi", e ha una serie di teoremi e proprietà notevoli.

Gli atomi modifica

Ci sono 92 atomi (che, per questa particolarità sono stati chiamati con i nomi dei 92 elementi chimici, da Idrogeno a Uranio), ed esiste un teorema (il teorema cosmologico di Conway) che afferma che qualunque sequenza di numeri decade, dopo un certo tempo, in una stringa composta solamente dai 92 atomi e da due "isotopi" transuranici (chiamati Nettunio e Plutonio).

Nella seguente tabella sono elencati i 92 atomi: in prima colonna si trova il numero atomico, in seconda colonna il simbolo, in terza colonna la sequenza numerica relativa. Ogni atomo decade nel successivo (per esempio, U decade in Pa). Se nella sequenza numerica sono presenti anche altri simboli atomici, significa che l'atomo precedente decade in più di un atomo (per esempio, osservando le righe 86 e 85 si vede che Rn decade in Ho più At; la sequenza relativa ad Ho si trova alla riga 67, mentre la sequenza numerica presente nella riga 85 è relativa ad At).

Z Elemento Proviene da Si scompone in Stringa Lunghezza
1 Idrogeno 7 elementi: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta 1 elemento: H (stabile) 22 2
2 Elio 1 elemento: Li 5 elementi: Hf, Pa, H, Ca, Li 13112221133211322112211213322112 32
3 Litio 2 elementi: He, Be 1 elemento: He 312211322212221121123222112 27
4 Berillio 1 elemento: B 3 elementi: Ge, Ca, Li 111312211312113221133211322112211213322112 42
5 Boro 1 elemento: C 1 elemento: Be 1321132122211322212221121123222112 34
6 Carbonio 1 elemento: N 1 elemento: B 3113112211322112211213322112 28
7 Azoto 1 elemento: O 1 elemento: C 111312212221121123222112 24
8 Ossigeno 1 elemento: F 1 elemento: N 132112211213322112 18
9 Fluoro 1 elemento: Ne 1 elemento: O 31121123222112 14
10 Neon 1 elemento: Na 1 elemento: F 111213322112 12
11 Sodio 2 elementi: Mg, As 1 elemento: Ne 123222112 9
12 Magnesio 1 elemento: Al 2 elementi: Pm, Na 3113322112 10
13 Alluminio 1 elemento: Si 1 elemento: Mg 1113222112 10
14 Silicio 2 elementi: P, Mn 1 elemento: Al 1322112 7
15 Fosforo 1 elemento: S 2 elementi: Ho, Si 311311222112 12
16 Zolfo 1 elemento: Cl 1 elemento: P 1113122112 10
17 Cloro 1 elemento: Ar 1 elemento: S 132112 6
18 Argon 1 elemento: K 1 elemento: Cl 3112 4
19 Potassio 1 elemento: Ca 1 elemento: Ar 1112 4
20 Calcio 13 elementi: He, Be, Sc, Ga (2 volte), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re 1 elemento: K 12 2
21 Scandio 1 elemento: Ti 5 elementi: Ho, Pa, H, Ca, Co 3113112221133112 16
22 Titanio 1 elemento: V 1 elemento: Sc 11131221131112 14
23 Vanadio 1 elemento: Cr 1 elemento: Ti 13211312 8
24 Cromo 1 elemento: Mn 1 elemento: V 31132 5
25 Manganese 1 elemento: Fe 2 elementi: Cr, Si 111311222112 12
26 Ferro 1 elemento: Co 1 elemento: Mn 13122112 8
27 Cobalto 5 elementi: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd 1 elemento: Fe 32112 5
28 Nichel 1 elemento: Cu 2 elementi: Zn, Co 11133112 8
29 Rame 1 elemento: Zn 1 elemento: Ni 131112 6
30 Zinco 3 elementi: Ni, Ga, Sm 1 elemento: Cu 312 3
31 Gallio 1 elemento: Ge 6 elementi: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn 13221133122211332 17
32 Germanio 3 elementi: Be, As, Re 2 elementi: Ho, Ga 31131122211311122113222 23
33 Arsenico 1 elemento: Se 2 elementi: Ge, Na 11131221131211322113322112 26
34 Selenio 1 elemento: Br 1 elemento: As 13211321222113222112 20
35 Bromo 1 elemento: Kr 1 elemento: Se 3113112211322112 16
36 Cripton 1 elemento: Rb 1 elemento: Br 11131221222112 14
37 Rubidio 1 elemento: Sr 1 elemento: Kr 1321122112 10
38 Stronzio 1 elemento: Y 1 elemento: Rb 3112112 7
39 Ittrio 1 elemento: Zr 2 elementi: Sr, U 1112133 7
40 Zirconio 1 elemento: Nb 4 elementi: Y, H, Ca, Tc 12322211331222113112211 23
41 Niobio 1 elemento: Mo 2 elementi: Er, Zr 11131221133221131112211312221 29
42 Molibdeno 1 elemento: Tc 1 elemento: Nb 13211322211312113211 20
43 Tecnezio 2 elementi: Zr, Ru 1 elemento: Mo 311322113212221 15
44 Rutenio 1 elemento: Rh 3 elementi: Eu, Ca, Tc 132211331222113112211 21
45 Rodio 1 elemento: Pd 2 elementi: Ho, Ru 311311222113111221131221 24
46 Palladio 1 elemento: Ag 1 elemento: Rh 111312211312113211 18
47 Argento 1 elemento: Cd 1 elemento: Pd 132113212221 12
48 Cadmio 1 elemento: In 1 elemento: Ag 3113112211 10
49 Indio 1 elemento: Sn 1 elemento: Cd 11131221 8
50 Stagno 1 elemento: Sb 1 elemento: In 13211 5
51 Antimonio 1 elemento: Te 2 elementi: Pm, Sn 3112221 7
52 Tellurio 1 elemento: I 3 elementi: Eu, Ca, Sb 1322113312211 13
53 Iodio 1 elemento: Xe 2 elementi: Ho, Te 311311222113111221 18
54 Xenon 1 elemento: Cs 1 elemento: I 11131221131211 14
55 Cesio 1 elemento: Ba 1 elemento: Xe 13211321 8
56 Bario 1 elemento: La 1 elemento: Cs 311311 6
57 Lantanio 1 elemento: Ce 1 elemento: Ba 11131 5
58 Cerio 1 elemento: Pr 4 elementi: La, H, Ca, Co 1321133112 10
59 Praseodimio 1 elemento: Nd 1 elemento: Ce 31131112 8
60 Neodimio 1 elemento: Pm 1 elemento: Pr 111312 6
61 Promezio 5 elementi: Mg, Sb, Sm, Er, Bi 1 elemento: Nd 132 3
62 Samario 1 elemento: Eu 3 elementi: Pm, Ca, Zn 311332 6
63 Europio 4 elementi: Ga, Ru, Te, Gd 1 elemento: Sm 1113222 7
64 Gadolinio 1 elemento: Tb 3 elementi: Eu, Ca, Co 13221133112 11
65 Terbio 1 elemento: Dy 2 elementi: Ho, Gd 3113112221131112 16
66 Disprosio 1 elemento: Ho 1 elemento: Tb 111312211312 12
67 Olmio 8 elementi: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn 1 elemento: Dy 1321132 7
68 Erbio 2 elementi: Nb, Tm 2 elementi: Ho, Pm 311311222 9
69 Tulio 1 elemento: Yb 3 elementi: Er, Ca, Co 11131221133112 14
70 Itterbio 1 elemento: Lu 1 elemento: Tm 1321131112 10
71 Lutezio 1 elemento: Hf 1 elemento: Yb 311312 6
72 Afnio 2 elementi: He, Ta 1 elemento: Lu 11132 5
73 Tantalio 1 elemento: W 5 elementi: Hf, Pa, H, Ca, W 13112221133211322112211213322113 32
74 Wolframio 2 elementi: Ta, Re 1 elemento: Ta 312211322212221121123222113 27
75 Renio 1 elemento: Os 3 elementi: Ge, Ca, W 111312211312113221133211322112211213322113 42
76 Osmio 1 elemento: Ir 1 elemento: Re 1321132122211322212221121123222113 34
77 Iridio 1 elemento: Pt 1 elemento: Os 3113112211322112211213322113 28
78 Platino 1 elemento: Au 1 elemento: Ir 111312212221121123222113 24
79 Oro 1 elemento: Hg 1 elemento: Pt 132112211213322113 18
80 Mercurio 1 elemento: Tl 1 elemento: Au 31121123222113 14
81 Tallio 1 elemento: Pb 1 elemento: Hg 111213322113 12
82 Piombo 1 elemento: Bi 1 elemento: Tl 123222113 9
83 Bismuto 1 elemento: Po 2 elementi: Pm, Pb 3113322113 10
84 Polonio 1 elemento: At 1 elemento: Bi 1113222113 10
85 Astato 1 elemento: Rn 1 elemento: Po 1322113 7
86 Radon 1 elemento: Fr 2 elementi: Ho, At 311311222113 12
87 Francio 1 elemento: Ra 1 elemento: Rn 1113122113 10
88 Radio 1 elemento: Ac 1 elemento: Fr 132113 6
89 Attinio 2 elementi: Ga, Th 1 elemento: Ra 3113 4
90 Torio 1 elemento: Pa 1 elemento: Ac 1113 4
91 Protoattinio 4 elementi: He, Sc, Ta, U 1 elemento: Th 13 2
92 Uranio 1 elemento: Y 1 elemento: Pa 3 1

Si noti che l'Idrogeno decade in sé stesso. Alcune curiosità: l'elemento con la sequenza più breve è l'Uranio (una cifra), mentre quelli con la sequenza più lunga sono il 4 e il 75 (quarantadue cifre).

Gli elementi transuranici modifica

La legge del decadimento audioattivo non consente la formazione di cifre diverse da 1, 2 e 3, a meno che esse non siano già presenti all'inizio. Se fin dall'inizio è presente un numero maggiore di 3, questo sarà sempre presente durante il decadimento, dando origine a elementi contenenti solo le cifre 1, 2, 3 e a una nuova coppia di elementi, chiamati transuranici.

Il Plutonio corrisponde a una stringa di questo tipo:

Pux = 31221132221222112112322211x

dove con x si intende qualunque cifra maggiore di 3.

Il Plutonio decade nel Nettunio, che è così definito:

Npx = 1311222113321132211221121332211x

A sua volta, il Nettunio decade in un composto di elementi "stabili" e Plutonio, e precisamente in Hf.Pa.H.Ca.Pux

Il teorema cosmologico di Conway modifica

Conway e Richard Parker dimostrarono che qualunque stringa, dopo un certo numero N di iterazioni, decade in un composto di elementi comuni e transuranici. In seguito Mike Guy mostrò che il valore N = 24 è il valore minimo accettabile. Entrambe le dimostrazioni, però, sono andate perdute.

Successivamente, Shalos B. Ekhad e Doron Zeilberger (Zeilberger è un essere umano ed Ekhad è il suo computer, regolarmente accreditato come coautore dell'articolo) hanno ridimostrato il teorema cosmologico facendo uso di un programma Maple per computer, e trovando per N il valore N = 29. Infine R.A. Litherland ha scritto un nuovo programma per computer, utilizzando tecniche diverse da Ekhad e Zeilberger, che ha permesso di affermare che il valore N = 24 è corretto.

Non è possibile scendere al di sotto di questo valore a causa di un controesempio fornito da Guy (e migliorato da Litherland eliminando le prime due cifre), il composto denominato Thuselum, che decade in 24 passi: 

0: 333222112
1: 33322112
2: 33222112
3: 23322112
4: 1223222112
5: 112213322112
6: 21221123222112
7: 121122211213322112
8: 111.H.13221121123222112
9: 31 & 1113222112211213322112
10: 1311 & 311332212221121123222112
11: 111321 & Pm.Ca.32211322112211213322112
12: 31131211 & 1322211322212221121123222112
13: 132113111221 & 11133221133211322112211213322112
14: 1113122113312211 & 3123222.Ca.Li
15: Er.Ca.Sb & 1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

Il composto originale di Conway, da lui chiamato Methuselum, è invece il seguente: 

0: 22333222112
1: 2233322112
2: 2233222112
3: 2223322112
4: 3223222112
5: 132213322112
6: 1113221123222112
7: 311322211213322112
8: 1321133221121123222112
9: La.H.123222112211213322112
10: 11121332212221121123222112
11: Sr.32211322112211213322112
12: 1322211322212221121123222112
13: 11133221133211322112211213322112
14: 3123222.Ca.Li
15: 1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

La costante di Conway modifica

Il numero di cifre nell'n-esima stringa è una quantità che cresce al variare di n. Questa quantità è proporzionale al numero  , dove   = 1.3035772690342963912570991121525518907307025046594... è chiamata costante di Conway ed è l'unica radice reale positiva del polinomio

 
La funzione polinomio riportata in riferimento cartesiano; si noti la presenza di tre sole radici reali, di cui solo una positiva (la costante di Conway).
 
 
 
 
 
 

Collegamenti esterni modifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica
Estratto da "https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Decadimento_audioattivo&oldid=129518018"