Discussione:Aritmetica modulare

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ciao a tutti quelli che stanno lavorando su questa voce, e grazie per i preziosi contributi.

Da parte mia mi scuso di essere parecchio maldestra con i tag matematici: sto imparando ad usarli in modo autodidatta esaminando quelli già presenti ed il loro effetto.

Sono però un po' in imbarazzo a proseguire nella stesura della voce lasciando le formule scritte male mentre alcune sono già scritte in bella forma... come faccio?

Se qualcuno mi può dare qui di seguito alcune minime istruzioni semplici e sintetiche (solo quelle che servono a questa voce: non credo che userò integrali e derivate o altre cose simili) ve ne sarò grata.

Altrimenti sarò altrettanto grata a chiunque passerà a sistemare le formule grezze.

Ultimo appunto: ho visto che il link "disquisitiones arithmeticae" (che avevo inserito perchè era presente nella versione inglese) è stato reindirizzato a Gauss, mentre wikipedia inglese ha una pagina espressamente dedicata a quest'opera.

Vi segnalo (l'ho scoperto navigando maldestramente in en.wiki) che l'università di Gottinga ha pubblicato on-line l'intera opera (anche se non è di facile navigazione, ma si scarica a piccoli pezzi in formato .pdf) al seguente indirizzo:

http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D137206&p=1

Credo che valga la pena farlo sapere (ma sono già contenta di saperlo io!)

Saluti a tutti, Jeyen

--JN 09:32, 27 mag 2006 (CEST)

Non è un problema se scrivi formule senza tag matematico (quando questo si può fare). L'importante è che le impagni bene (magari facendole precedere da uno o più ":" quando le scrivi a capo per non farle venire troppo a sinistra) e che usi una font corsiva per le lettere (per distinguerle di più dal testo). Ad esempio

a+b=c

va benissimo. Il link sulle disquisitiones lo si potrebbe citare alla pagina Karl Friedrich Gauss.Ciao!--Pokipsy76 09:55, 27 mag 2006 (CEST)

Beh, se mai qualcuno scriverà la voce disquisitiones arithmeticae allora si toglierà il redirect a Gauss... per il momento penso possa essere utile averlo. -- .mau. ✉ 16:09, 27 mag 2006 (CEST)

credo che basterebbe tradurla dall'inglese (la voce in en.wiki mi sembra ben fatta) solo che adesso ho pochissimo tempo (sono sotto scrutini di fine anno...).

Saluti,Jeyen

--JN 13:20, 29 mag 2006 (CEST)

Ho asciugato la parte sull'aritmetica delle classi di resto, sperando di premiare la leggibilità: molte dimostrazioni erano ovvie o conseguenze di quanto già detto prima. Ylebru dimmela 13:33, 11 giu 2006 (CEST)

Grazie. Per me va bene: sono laureata in matematica e non ho difficoltà. Periodicamente mi trovo a lavorare sulla didattica con insegnanti di scuola media, che per la maggior parte sono laureati in biologia o cose simili, e quindi non sempre hanno le basi per leggere e tradurre in scioltezza "elemento neutro", "gruppo", "anello" e cose simili; quindi pensavo di dare un taglio un po' più accessibile all' "autodidatta di livello" che voglia (come molti insegnanti) approfondire la propria cultura matematica in modo spendibile sulla classe, ma che magari non ha tempo di rifarsi un intero corso di laurea. Magari tra i due estremi si può trovare una qualificata via di mezzo?

Ciao, Jeyen --JN 13:46, 12 giu 2006 (CEST)

Ciao.Innanzitutto: se pensi di voler aggiungere o reinserire delle parti, fa' pure! Riguardo alla via di mezzo hai ragione, ricordiamoci però che questa è un'enciclopedia e non un libro di testo: secondo me ogni dimostrazione rischia di appesantire la lettura, e quindi bisognerebbe fare una selezione e inserire solo le dimostrazioni importanti o che colgono dei nodi rilevanti. Se guardi in giro, nelle altre voci non troverai ad esempio le verifiche che le matrici formano uno spazio vettoriale, o che gli interi sono un anello. Tutto questo, ovviamente, è soltanto il mio parere! :-) Ylebru dimmela 17:11, 12 giu 2006 (CEST)

Scusate stavo cercando un metodo per trovare l'inverso moltiplicativo in aritmetica modulare, ma finora non ho trovato nulla. Per chi è a conoscenza di un metodo, sarebbe bello inserirlo in questa pagina, non trovate? --Marcodianti (msg) 12:20, 8 gen 2009 (CET)

Aritmetica Modulare Complicata

Continuo a non avere risposte su questo:

- non trovate che sarebbe più corretto chiamare "resto", il resto, e "modulo" ...il modulo ?

Secondo la matematica:

in  9 mod 3 = 0 

Zero sarebbe il modulo, ... invece sostengo che 0 è il resto, 3 è il modulo !

Mi spiego (perchè già so che a molti è venuto l'herpes labiale...)

Mi pare "logico" chiedersi, ad esempio se il numero 9 potrebbe essere composto da un numero (magari sconosciuto) di "moduli" (unità di uguale forma)
Con l'operazione a modulo ci chiediamo, quindi, se è possibile scomporre 9 in moduli di egual lunghezza p.es 3 (quindi 3 è undo degli "x" moduli !)
La risposta è che 9 è costituito esattamente da 3 moduli (lunghi 3)... resto zero.

Anche se ci è venuto comodo non considerare affatto il numero "x" dei moduli che compongono 9 (o qualsiasi altro), ritengo che anche questo dato possa divenire importante...

Pongo questa "fastidiosissima" questione in quanto mi sono chiesto:

Potrebbero esistere "moduli più complicati", magari con forme che mutano nel tempo, o nello spazio, ma in modo noto, con cui "smontare" numeri, funzioni etc... ?

Allora quì diventa importante capire che il modulo (inteso come l'ho inteso io) ha una caratteristica ben particolare:

- per quanto normalmente "noto" è un numero che fissiamo noi e resta sempre quello... (3 nell'esempio sopra)

- nella mia "Algebra a Modulo Complicato" è, invece UNA FUNZIONE, che resta sempre quella, ma che, ad ogni giro dell'orologio assume una dimensione diversa ("scala" a crescere o decrescere)

Ad esempio ho usato la serie di "funzioni modulo complicato" che si ottengono con un particolare trucchetto dal triangolo di Tartaglia per calcolare le radici n-esime (a mano) e per lo studio delle potenze e dell'ultimo di Fermat

1) Estrazione delle radici n-esime:

Caso semplice n=2 (radice quadrata)

Credo molti che leggono se dovessere fare la radice quadrata a mano, non si ricorderebbero certo come fare... bene basta scrivere il triangolo si Tartaglia per (x-1)^2

n=0   1
n=1  1 1
n=2 1 -2 1  eliminare il primo coefficiente quindi resta:
 
-2x+1

e cambiare di segno. otteniamo così il nostro modulo comlpicato M2:

M2= 2x-1

Cosa ce ne facciamo ? Lo usiamo, ad esempio, per fare la radice quadrata di 9 in questo modo: Tabuliamo per x crescente da 1 in poi i valori di (2x-1) e della sottrazione:

x   (2x-1)    9
1     1       9-1 = 8
2     3       8-3 = 5
3     5       5-5 = 0

Quindi la radice quadrata di 9 è 3 resto zero, o anche 9= 3M2 + 0

o, più semplicemente 9= 3^2 + 0

- Esempio più complicato: radice cubica di 28:

n=0    1
n=1   1 1
n=2  1 -2 1  
n=3 1 -3 3 -1 

eliminare il primo coefficiente quindi resta:

-3x^2 + 3x -1

e cambiare di segno. otteniamo così il nostro modulo comlpicato M3:

M3= 3x^2 - 3x +1

Con cui possiamo estrarre la radice cubica:

x (3x^2-3x+1)    28
1     1       28-1 = 27
2     7       27-7 = 20
3     19      20-19 = 1

Quindi la radice cubica di 28 è 3 con resto 1, o 28 = 3M3+1 O 28=3^3+1

Mi pare che, tolto il fatto che nessuno fa più le radici a mano..., si apra un "universo" matematico, almeno, interessante.

In pratica si avvicina l'aritmetica modulare ai frattali...

Ho sparso e-mail per mezzo mondo, ma nessuno mi ha degnato di risposta e/o interesse in merito... nemmeno al fatto che con questo sistema e una proprietà delle potenze si dimostra (se non ho fatto errori) Fermat... Qualcuno mi ha detto che uno dei "piccoli" Bernoulli aveva già usato questa proprietà... ma che, normalmente, nessuno se la ricorda... come in molti non sanno che 1+3+5+7+..di è sempre un quadrato...

Grazie per una risposta (spero non vogliate cancellare queste disquisizioni anche se "informali"...) Stefano

Generalizzazione di Algebra (o aritmetica) a modulo

E' necessario notare che la definizione di algebra (o aritmetica) a modulo attuale è riduttiva, non ha quindi il carattere generale che dovrebbe avere, e viene presentata in modo errato (pur se ovviamente molto utile e funzionante nel solo caso riduttivamente proposto fino ad ora). Data la definizione classica:

"Dati tre numeri interi a, b, n, con n ≠ 0, diciamo che a e b sono congruenti modulo n, oppure che a è congruo a b modulo n, se la differenza (a − b) è un multiplo di n."

Per capire quanto segue nel paragrafo sotto, la definizione appena più generale (estendendo da N a Q) dovrebbe suonare così:

"Dati tre numeri razionali a, b, n, con n ≠ 0, diciamo che a e b sono congruenti modulo n, in cui n ora è, più genericamente, del tipo n=p/q, oppure che a è congruo a b modulo n, se la differenza (a − b) è un multiplo Intero di n."

E già questo è un grosso passo avanti... Ma di più:

Il concetto di modularità è assai più ampio, infatti è possibile immaginare che:

- Ciò che dobbiamo suddividere non sia solamente un numero

- Che l'operazione di suddivisione non coincida con quella di divisione (in parti uguali)

- che il modulo, cioè il divisore, sia un'entità ben definita, quindi non necessariamente sia un numero e non necessariamente debba avere una dimensione fissa, ma può essere variabile, ovviamente in base ad una "funzione", o algoritmo, noti.

Ora che abbiamo liberato tutte le variabili in gioco, abbiamo bisogno di una definizione di aritmetica modulare che copra quindi il caso più ampio.

E a questo punto scopriamo che la definizione basata sulla differenza (ma chi ha deciso di propinarcela così ???) NON E' PIU' UTILIZZABILE oltre che "errata" nella filosofia del voler rendere le definizioni più chiare possibili.

In quanto, ad esempio, con l' algebra a "Modulo Complicato" (presentata sotto ad esempio) in cui si suddivide una potenza in moduli ( $M_{n,x}$) ad ampiezza variabile, ad esempio

$M_{n}=(X^{n}-(X-1)^{n})$

per cui: Sia A un intero, X la coordinata X del piano cartesiano X,Y, abbiamo che:

$A^{n}=\sum _{1}^{A}M_{n}$

(in cui ricordo A^2= 1+3+5+...2i-1 +...+ 2A-1 è l'esempio più semplice)

PER CUI NON VALE PIU' LA REGOLA PER CUI E' SEMPRE VALIDO CHE:

$C^{z}-B^{y}=A^{x}$

Cioè la regola della differenza, pur essendo molto utile in certi casi, NON E' UNA REGOLA DI CARATTERE GENERALE, QUINDI NON E' DA USARE PER LA DEFINIZIONE.

Quindi la definizione andrebbe cambiata quanto prima semplicemete definendo in modo diretto l'operazione di suddivisione che si va a compiere, che fornisce (nella definizione più generale) tre tipi di risultato: Impossibile, Resto zero, Resto diverso da zero. Segue esempio e spiegazione dell'Algebra a modulo complicato:

Non sono sicuro di capire bene cosa vuoi dire in alcune parti di ciò che scrivi. Ad esempio

• che intendi con "Ciò che dobbiamo suddividere non sia solamente un numero", che cosa è che stiamo "suddividendo" dal tuo punto di vista? (Dal mio punto di vista algebrico non c'è nessuna "suddivisione", ma non sto dicendo che il tuo punto di vista è sbagliato, solo che non lo sto capendo da come l'hai scritto.)

"Potremmo voler suddividere un'area, ad esempio. E per la suddivisione prendi questo esempio per tutti: 

$A^{2}=1+3+5+7+...+(2A-1)$

E:  $M_{2}=2X-1$ è quello che chiamo "modulo", meglio "modulo complicato", cioè quello che resta uguale (in qualche caratteristica che definisco utile). NOn importa quanto sia "grosso" se hai in testa il "modulo cetriolo", quando vedi un cetriolo, lo riconosci sempre... che sia piccolo o gigante...

"Ecco questo è quello che chiamo modulo complicato. Tutti e solo i quadrati rispondono con un resto zero a questa suddivisione. Mi sono spiegato ? Scusa, ma non riesco a ufficializzare, ed è una cosa su cui lavoro da 12 anni..."

• che intendi con " Che l'operazione di suddivisione non coincida con quella di divisione (in parti uguali)", legata alla domanda di sopra, che vuol dire "operazione di suddivisione" per te?

"Vedi sopra".

• che intendi con "che il modulo, cioè il divisore, sia un'entità ben definita, quindi non necessariamente sia un numero e non necessariamente debba avere una dimensione fissa, ma può essere variabile, ovviamente in base ad una "funzione", o algoritmo, noti." in particolare cosa vuol dire per te che un numero (intero? razionale? reale?) abbia una "dimensione fissa"? Per come la vedo io un numero non ha una "dimensione" (o volendo ha dimensione 0), ma non capisco bene cosa intendi tu. E non mi è chiaro nemmeno cosa intendi con "può essere variabile".

"Vedi sopra, ad esempio".

• Non capisco nemmeno cosa intendi con "la regola della differenza" e cosa intendi con "non vale più" e cosa sono x, y, z e A, B, C nella formula che scrivi alla fine. Sono numeri reali? Razionali? Interi? O cosa?

"Si sono tutti interi. Se leggi la definizione di Artim. Mod. ora presente, essa si basa non sul concetto di modularità, ma su una proprietà della divisione a modulo e questo a mio avviso è concettualmente errato (o quantomeno limitante) perchè non è detto che quella proprietà valga sempre."

Ho poi alcuni commenti da fare:

• La questione "modulare" è ben più ampia, può essere definita anche come il quoziente tra i gruppi additivi Q (o R) e kZ con k un razionale (o un reale) fissato; ma può essere definita in termini ben più astratti in algebra come il quoziente tra un anello A (commutativo unitario diciamo) e un suo ideale I (andando quindi ben oltre il concetto di numero).

"Ecco un motivo per cui vale la pena discuterne: non serve tirare in ballo l'algebra astratta per definire concetti in realtà molto semplici. Dare definizioni astratte è necessario, fin tanto che non si riesce a fare di meglio, cioè le stesse cose, ma senza "cose" che ad un ignaro lettore non hanno alcun senso."

• La definizione con la differenza non ce l'ha "propinata" nessuno in particolare, è semplicemente una definizione semplice e comoda per molti casi basici che basta didatticamente se non si vuole andare molto oltre; ovviamente la definizione che si dà e quanto generale si dà dipende dallo scopo di uno scritto (voce enciclopedica, articolo, libro, ecc.).

"Ecco non concordo sul fatto che sia nemmeno semplice, perchè se è chiaro che due numeri sono divisibili per un altro con resto zero, il fatto che lo sia anche la differenza è qualcosa che viene dopo... (e come ti ho detto se si generalizza potrebbe non più essere vero). E' una opinione personale, ovviamente."

Se uno vuole fare un discorso più generale ovviamente prenderà in considerazione definizioni più generali (vedi il caso di anelli e ideali). Su wikipedia di solito si cerca di andare per generalizzazioni successive in una voce, quindi, in caso, si potrebbe mettere una sezione apposita più sotto con la definizione più generale spiegando perché è utile questa definizione più generale.

• Dire che la definizione usata è ""errata" nella filosofia del voler rendere le definizioni più chiare possibili." mi sembra molto soggettivo e non concordo affatto, quella che proponi tu non mi sembra affatto più "chiara" ma solo più "generale", ma ribadisco che il concetto di "chiaro" è estremamente soggettivo e dipende dalle conoscenze pregresse del lettore. Ma non capisco perché per te lavorare in Q invece che in Z renderebbbe le definizioni "più chiare".

• Inoltre non capisco bene il discorso con "il modulo complicato" e la X che sarebbe l'ascissa (ascissa di cosa? di quale punto del piano? come è legata a M? non si capisce cosa intendi); non capisco bene che intendi con "suddividere una potenza in moduli ad ampiezza variabile". Tutto il discorso del "modulo complicato" mi sembra poi una ricerca originale (scritta in modo un po' confuso e impreciso e di cui non sono sicuro della correttezza) e quindi non pertinente a una pagina di wikipedia, verrà in caso presa in considerazione dopo esser stata pubblicata su referenze affidabili, se già ce ne sono sarebbe il caso di indicarle se se ne vuole parlare più in dettaglio.--Mat4free (msg) 15:35, 20 dic 2020 (CET)

"Per questo devo metterti un riferimento esterno a figure e spiegazioni adeguate."

L'orologio a 2 lancette:

http://shoppc.maruelli.com/TWO-HAND-CLOCK/Maruelli-Complicate-Numbers-and-The-Two-Hand-Clock-Vol-1.pdf

La cosa è vecchia (ma pubblica) da anni.

Grazie per aver intrapreso una civile discussione sul punto, raro di questi tempi !

Se rispondi in mezzo e a quello che ho scritto e senza firma non si capisce niente. Scrivi sotto eventualmente citando le parti a cui rispondi.

• "non serve tirare in ballo l'algebra astratta per definire concetti in realtà molto semplici. "

Questo è molto soggettivo direi. Cosa è semplice dipende da cosa uno sa. Il concetto di ideale potrei dire che è abbastanza semplice, forse più del concetto classico di divisione per come la vedo io. Ma questo dipende dalle conoscenze pregresse e dall'esperienza personale.

• "$M_{2}=2X-1$ è quello che chiamo "modulo", meglio "modulo complicato", cioè quello che resta uguale (in qualche caratteristica che definisco utile)"

Non capisco quale sia la definizione. Il modulo complicato quindi cos'è? Un numero? Un polinomio? Una funzione? Un insieme? Una struttura algebrica? Un algoritmo?E che proprietà deve soddisfare per essere tale?

• "Potremmo voler suddividere un'area, ad esempio. E per la suddivisione prendi questo esempio per tutti: $A^{2}=1+3+5+7+...+(2A-1)$"

Non capisco bene il criterio della scelta della suddivisione. Perché non $A^{2}=(A-1)^{2}+2A+1$? Oppure $A^{2}={\frac {A^{2}-1}{3}}+{\frac {2A^{2}+1}{3}}$? O infiniti altri modi.

• "Per questo devo metterti un riferimento esterno a figure e spiegazioni adeguate."

A parte che il link non funziona, ma ti ricordo che wiki non è il posto adeguato per scrivere ricerche originali. Se ci sono referenze affidabili (tipo articoli su riviste scientifiche), allora indicali e poi se ne riparla. Ma ricorda che questa è un'encicolpedia, non uno spazio per discutere di ricerca.--Mat4free (msg) 11:55, 25 dic 2020 (CET)

Il modulo, cioè ciò che definisce la suddivisione, può essere ciò che ti fa comodo. A me tornava utile M_n=X^n-(X-1)^n) perchè la somma per x da 1 ad A di questo "modulo complicato" individua esattamente, fra numeri che ptorebbero essere qualsiasi, esattamente e solo le potenze ennesime di interi. E l'n lo decido io. Qualsiasi numero intero che non sia una potenza (scelta) suddiviso in questo modo (cioè tramite la differenza ricorsiva, da un resto. Ma come dici tu è inutile continuare a discutere quì, sono concetti che sono ancora in attesa di ufficializzazione... Un po' come successe ad un certo Galileo... Ti chiedo cortesemente però di non cancellare perchè male non fa, e ci sono già altri all'opera per capire il mio lavoro (confido che post mortem sarà compreso). Scusa mi sono loggato, ma non ha preso l'id. StefanoMaruelli. Il link ora dovrebbe andare.

Algebra (o aritmetica) a modulo complicato e soluzione equazioni di grado n-esimo

Sempre a mio avviso, per quanto sto cercando di verificare, come l'algebra modulare può stabilire se una equazione di grado n ha o meno radici intere, così l'Algebra a modulo complicato fornisce un metodo risolutivo a equazioni di grado n qualsiasi.

Supponendo le radici piccole (numeri interi tipo 1,2,...19) il metodo risolutivo consiste nel fattorizzare il temine noto in questo modo:

data una equazione di 4° grado: 

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ in un caso in cui abbia sicuramente radici intere:

$x^{4}-17x^{3}+216x^{2}-247x+210=0$

Sappiamo che X^2 ha modulo (2x-1)

quindi sostituiamo a ogni X^2 il modulo (2x-1):

  :$(2x-1)*(2x-1)-17x*(2x-1)+216*(2x-1)-247x+210=0$

17,216 e 247 sono primi fra loro, ma questo non importa. Dividiamo tutto per: [(2x-1)*(2x-1)]

  $1-17x/(2x-1)+41/(2x-1)-247x/[(2x-1)*(2x-1)]+210/[(2x-1)*(2x-1)]=0$

e ci focalizziamo solo sul termine noto cercando di capire se è modulabile con modulo [(2x-1)*(2x-1)], che non è altro che il quadrato dei dispari sucecssivi:

x   [(2x-1)*(2x-1)]  210
1         1          210-1 = 209
2         9          209-9 = 200
3         25         200-25= 175
4         49         175-49= 126
5         81         126-81= 45  (1° resto)
6        121         45-121= -76
7        169         -169+76= -245 (2° resto)

5 è, probabilmente, la prima radice

a) Ora notiamo che: il resto 45 è modulabile con il nostra radice 5 quindi ed in particolare

45/5 = 9   

Ora modulando 9 con (2x-1) otteniamo (anche se sappiamo già che è un quadrato...):

 x   (2x-1)  9
1      1     9-1= 8
2      3     8-3= 5
3      5     5-5= 0 resto zero

quindi 5 è sicuramente una radice e la seconda radice è 3

b) notiamo anche che: il resto -245 è "modulabile" con il nostra radice 5:

245/5 = 49  e "modulando" 49 con (2x-1) otteniamo:

 x   (2x-1)  49
1      1     49-1= 48
2      3     48-3= 45
3      5     45-5= 40 resto zero
4      7     40-7=33
5      9     33-9=24
6      11    24-11=13
7      13    13-13= 0  quindi 7 è la nostra 3a radice

Ora essendo 210 il prodotto delle 4 radici:

210/(3*5*7) = 2

L'algoritmo sembra funzionare, con qualche accorgimento, anche con radici diverse (p.es. tutte pari non solo primi etc...)

E' più probabile che funzioni con tutte le equazioni di grado n pari...

Possibili implicazioni nella fattorizzazione

Stiamo sperimentando il ns. metodo per la fattorizzazione p x q. 

Ci sono numeri la cui fattorizzazione sembra molto rapida: ad esempio 13x47

p	q	pxq
13	47	611

x    (2x-1)^2   611
1	1    611-1= 610
2	9	601
3	25	576
4	49	527
5	81	446
6	121	325
7	169	156 < si arresta e 169^(1/2) = 13. Notiamo che 13 è il primo fattore...
8	225	-69

in realtà se avessimo diviso per tutti i dispari avremmo fatto un numero inferiore di operazioni (solo 7, invece che 8), ma ci pare che a livello computazionale questo metodo richieda meno memoria.

Se provate funziona anche usando 13 e numeri vicini a 47, e ovviamente, per molte altri fattori primi e loro "compagni".

Chi siano questi compagni lo stiamo definendo.

Che l'RSA p x q, non sia un metodo sicuro per la protezione dei dati è, però noto da tempo. Quello che ci spinge ad indagare oltre è, ovviamente, la possibilità che l'elevamento a "1/2" con cui si ottiene il risultato sia collegato a un ben più noto "1/2".

Non ho molto tempo, lascio questo scritto come un appunto che mi riprometto di ri-controllare e correggere (sperano che nessuno cancelli).

Grazie Stefano