Discussione:Frazione continua

Come si traduce:

Each convergent is in its lowest terms --Wiso 12:37, 15 feb 2006 (CET)

Sezioni trasferita da voce

Semiconvergenze

Trasferisco qui la sezione "Semiconvergenze", non chiara : in che senso "compresi tra n e n+1 termini inclusivi? Neppure il confronto con la versione inglese chiarisce

Se ${\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}$ e ${\frac {h_{n}}{k_{n}}}$ sono convergenze successive, allora ogni frazione nella forma

${\frac {h_{n-1}+ah_{n}}{k_{n-1}+ak_{n}}}$

con a intero non negativo e i numeratori e i denominatori compresi tra $n$ e $n+1$ termini inclusivi sono chiatate semiconvergenze o convergenze secondarie. Spesso il termine sta ad indicare che essere una semiconvergenza esclude la possibilità di essere una convergenza, piuttosto che una convergenza sia un tipo di semiconvergenza.

Le semiconvergenze dell'espansione delle frazioni continue del numero reale $x$ includono tutte le approssimazioni razionali che sono migliori di ogni approssimazioni con denominatori minori.

Un'altra proprietà utile è che semiconvergenze consecutive a/b e c/d sono tali che $ad-bc=\pm 1$.

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credo che "semiconvergenti" sia usato nel senso di "convergenti superiori/inferiori", almeno vedendo la proprietà indicata (lo sviluppo in frazione continua alterna appunto convergenti superiori e inferiori). Confesso di non aver mai sentito usare quel termine, però. -- .mau. ✉ 16:13, 26 gen 2010 (CET)

come non detto. Tra l'altro non ha un grande senso. I convergenti sono sempre le migliori approssimazioni razionali... -- .mau. ✉ 16:16, 26 gen 2010 (CET)

Approssimazioni razionali

Altra parte poco chiara e in parte ridondante: in che senso 1/2a_k è ammissibile?--Dr Zimbu (msg) 15:38, 26 gen 2010 (CET)

Per incorporare un nuovo termine in una approssimazione razionale, solo i due convergenti precedenti sono necessari. Se a è il nuovo termine, i nuovi numeratore e denominatore sono

n_k+1 = n_k−1 + a n_k

d_k+1 = d_k−1 + a d_k

I "convergenti" iniziali (richiesti per i primi due termini) sono ⁰⁄₁ e ¹⁄₀. Per esempio, ecco i convergenti per [0;1,5,2,2].

ak			0	1	5	2	2
nk	0	1	0	1	5	11	27
dk	1	0	1	1	6	13	32

Una descrizione formale della regola della metà è che il termine dimezzato ½ a_k è ammissibile se e solo se

[a_k; a_k−1, …, a₁] > [a_k; a_k+1, …].

In pratica, viene spesso usato qualcosa come l'algoritmo di Euclide per l'MCD per generare i termini sequenzialmente, e i valori ausiliari che provvede permettono un test più conveniente. Per esempio, questa è la generazione dei termini per 0.84375 = ²⁷⁄₃₂.

a0	= ⌊27⁄32⌋	= 0,		f0	= 27 − 32a0	= 27
a1	= ⌊32⁄27⌋	= 1,		f1	= 32 − 27a1	= 5
a2	= ⌊27⁄5⌋	= 5,		f2	= 27 − 5a2	= 2
a3	= ⌊5⁄2⌋	= 2,		f3	= 5 − 2a3	= 1
a4	= ⌊²⁄1⌋	= 2,		f4	= 2 − 1a4	= 0

Usando il valore f così generato, il test di ammissibilità per ½ a_k è d_k−2 / d_k−1 > f_k / f_k−1 Per l'a₃ dell'esempio, d₁  / d₂  = ¹⁄₆ and f₃  / f₂  = ¹⁄₂, così ½ a₃ non è ammissibile; mentre per a₄, d₂  / d₃  = ⁶⁄₁₃ e f₄  / f₃  = ⁰⁄₁, cosicché ½ a₄ è ammissibile.

approfondimenti

Come miglioramento suggerisco anche di fare come pagine di approfondimento anche frazione continua finita e frazione continua infinita, dove riportare anche tutte le proprietà PersOnLine 19:05, 26 gen 2010 (CEST)

peccato

Cercavo dati sulle frazioni continue discendenti generalizzate e sulla frazioni continue ascendenti. peccato che non ci sia nulla.--80.104.217.104 (msg) 16:28, 10 mar 2013 (CET)

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