Disgiunzione

Nella teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che sussiste fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune. In altre parole, due insiemi $A$ e $B$ sono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto $\varnothing$ , cioè: $A\cap B=\varnothing .$

Esempi modifica

Si considerino gli insiemi

$A=\{1,2,3\};\;B=\{3,4,5\};\;C=\{4,5,6\}$

mentre $A$ e $B$ non sono disgiunti, $A$ e $C$ sono disgiunti.

Sono disgiunti l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Non lo sono l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari: hanno in comune lo zero inteso come numero complesso.

Varie modifica

La disgiunzione di insiemi è una relazione simmetrica, non riflessiva (l'unico elemento in relazione con sé stesso è l'insieme vuoto) e non transitiva. Un controesempio per la non transitività è dato dai seguenti insiemi

$E=\{a,b,c\};\;F=\{d,f,g\};\;G=\{e,f,h,i\}$ ;

$E$ ed $F$ sono disgiunti, come lo sono $E$ e $G$ ; $F$ e $G$ invece non sono disgiunti.

Una famiglia di insiemi $\,E_{i}$ per $\,i\in I$ si dice costituita da insiemi mutuamente disgiunti (o a due a due disgiunti) se per ogni coppia di indici distinti $\,h,k\in I$ i corrispondenti insiemi sono disgiunti: $\,E_{h}\cap \,E_{k}=\varnothing$ . Notare che questa è una proprietà più forte del richiedere che l'intersezione totale $\bigcap _{i\in I}E_{I}$ sia vuota. Per esempio gli insiemi E, F e G definiti sopra non sono mutuamente disgiunti sebbene $\,E\cap \,F\cap \,G=\varnothing$ .