Distanza di Minkowski

In matematica, la distanza di Minkowski è una distanza in uno spazio euclideo che può essere considerata una generalizzazione sia della distanza euclidea sia della distanza di Manhattan.

Definizione

La distanza di Minkowski di ordine $p$ tra due punti $P=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ e $Q=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ in $\mathbb {R} ^{n}$ è definita come:

$\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

Questa distanza si usa tipicamente con $p=1$ o $p=2$: il primo caso riconduce alla distanza di Manhattan, mentre il secondo rappresenta la distanza euclidea.

Per $p\geq 1$ la distanza di Minkowski è una metrica, nel senso che soddisfa la disuguaglianza triangolare come conseguenza della disuguaglianza di Minkowski. Quando $p<1$, la distanza tra $(0,0)$ e $(1,1)$ è $2^{1/p}>2$, ma il punto $(0,1)$ è a distanza 1 da entrambi.

Nel caso limite in cui $p$ tende a infinito si ha la distanza di Čebyšëv:

$\lim _{p\to +\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$

Per $p$ che tende a $-\infty$, in modo simile si ha:

$\lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$

Cerchio unitario (luogo dei punti equidistanti dall'origine) per diversi valori di p.

Bibliografia

• (EN) John P. van de Geer, Some Aspects of Minkowski Distance, Leiden University, Department of Data Theory, 1995.

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Distanza di Čebyšëv
• Distanza euclidea
• Geometria del taxi

Collegamenti esterni

• (EN) Jan Schulz - Minkowski distance, su code10.info.