Distribuzione Gamma

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che comprende, come casi particolari, anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Distribuzione Gamma
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$k>0\$ e $\theta >0\$ oppure $\alpha >0\$ e $\beta >0\$ ($k=\alpha$, $\theta \beta =1$)
Supporto	$\mathbb {R} ^{+}$
Funzione di densità	${\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}$ (con $\Gamma$ la funzione Gamma)
Funzione di ripartizione	$P(k,x)={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}$ ($\gamma$ è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata)
Valore atteso	$k\theta \$
Moda	$(k-1)\theta \$ se $k\geq 1$
Varianza	$k\theta ^{2}\$
Indice di asimmetria	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Curtosi	${\frac {6}{k}}$
Entropia	$k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi _{0}(k)$ (con $\psi _{0}$ la funzione digamma)
Funzione generatrice dei momenti	$(1-\theta t)^{-k}\$ per $t<\theta ^{-1}$
Funzione caratteristica	$(1-i\theta t)^{-k}\$

Viene utilizzata come modello generale dei tempi di attesa nella teoria delle code, soprattutto qualora siano importanti effetti che rimuovano "l'assenza di memoria" della distribuzione esponenziale. Nella statistica bayesiana è comune sia come distribuzione a priori che come distribuzione a posteriori.

Definizione

La distribuzione Gamma è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale; la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali positivi, $\mathbb {R} ^{+}$. A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi $(k,\theta )$, sia tramite la coppia di numeri positivi $(\alpha ,\beta )$. Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni $\alpha =k$ e $\beta =1/\theta$. Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma$(k,\theta )$.

La sua funzione di densità di probabilità è

$f(x)={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$,

dove $\Gamma (k)=\int _{0}^{\infty }t^{k-1}e^{-t}dt$ è la funzione Gamma di Eulero.

Possiamo osservare che se $k\in \mathbb {N}$ vale che $\Gamma (k)=(k-1)!$

La sua funzione di ripartizione è la funzione gamma incompleta inferiore regolarizzata

$F(x)=P(k,x)={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}}$,

dove $\gamma (k,x)=\int _{0}^{x}t^{k-1}e^{-t}dt$ è la funzione Gamma incompleta inferiore.

Caratteristiche

I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri $(k,\theta )$ sono

$\mu _{n}=\mathbb {E} [X^{n}]={\tfrac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k+n-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}dx$

$\mu _{n}={\tfrac {\theta ^{k+n-1}}{\theta ^{k-1}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }u^{k+n-1}e^{-u}du=\theta ^{n}{\frac {\Gamma (k+n)}{\Gamma (k)}}=\theta ^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(k+i),$

dove si effettua la solita sostituzione ${\frac {x}{\theta }}=u$ per ottenere la rappresentazione integrale della funzione Gamma di Eulero.

In particolare la distribuzione ha:

• valore atteso $\mathbb {E} [X]=k\theta ;$
• varianza $\mathrm {Var} (X)=k\theta ^{2};$
• indice di asimmetria $\gamma _{1}=2\,k^{-{\frac {1}{2}}};$
• indice di curtosi $\gamma _{2}=6\,k^{-1}.$

Funzione generatrice di momenti:

$\mathbb {M} _{X}(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x\left({\frac {1}{\theta }}-t\right)}dx={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)({\tfrac {1}{\theta }}-t)^{k}}}\int _{0}^{\infty }u^{k-1}e^{-u}du$

$\mathbb {M} _{X}(t)=(1-\theta t)^{-k}$ che esiste per ogni valore di t tale che $1-\theta t>0\Rightarrow t<\theta ^{-1}.$

Proprietà (Teorema del cambiamento di scala)

Se $X$ segue la distribuzione Gamma$(k,\theta )$ allora $aX$ segue la distribuzione Gamma$(k,a\theta )$.

Se $X_{1},\ldots ,X_{n}$ sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma$(k_{i},\theta )$, allora la loro somma $X_{1}+\ldots +X_{n}$ segue la distribuzione Gamma$(k_{1}+\ldots +k_{n},\theta )$.

Altre distribuzioni

La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni (è conveniente ora utilizzare la seconda delle due parametrizzazioni presentate):

• se $k$ è un numero naturale si ottiene la distribuzione di Erlang;
• $\mathrm {Gamma} (1,{\theta })={\mathcal {E}}({1/\theta })$ è la distribuzione esponenziale;
• $\mathrm {Gamma} ({\tfrac {n}{2}},1/2)=\chi ^{2}(n)$ è la distribuzione chi quadrato;
• se $X$ segue una distribuzione di Maxwell-Boltzmann di parametro $a$ allora $X^{2}$è distribuito secondo $\mathrm {Gamma} ({\tfrac {3}{2}},2a^{2})$.

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro $X$ di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa $X^{-1}$ di una variabile aleatoria $X$ che segue la distribuzione Gamma.

Se $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni $\mathrm {Gamma} (k_{1},\theta )$ e $\mathrm {Gamma} (k_{2},\theta )$, allora $Z={\tfrac {X}{X+Y}}$ segue la distribuzione Beta $\mathrm {Beta} (k_{1},k_{2})$, mentre ${\tfrac {X}{Y}}={\tfrac {Z}{1-Z}}$ segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore ${\tfrac {1}{X_{1}+\ldots +X_{n}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$, descritto da $n$ variabili aleatorie indipendenti $X_{i}$ di distribuzioni $\mathrm {Gamma} (k_{i},\theta )$, segue una distribuzione di Dirichlet di parametri $(k_{1},\ldots ,k_{n})$.

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione $\chi ^{2}$.

Stimatori

Calcoliamo ora degli stimatori che possano, dato un campione presumibilmente Gamma distribuito, restituirci una stima dei suoi parametri $\theta$ e $k$.

Uno stimatore corretto per $\theta$ è

${\hat {\theta }}={\frac {1}{nk}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.$

Stimatore asintoticamente corretto per $k$ è:

${\hat {k}}=\psi _{0}^{-1}\left[\ln \left({\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{\theta }}}}\right)\right]=\psi _{0}^{-1}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right].$

dove $\psi _{0}^{-1}$ è la funzione inversa della funzione digamma $\psi _{0}(k)$ così definita:

$\psi _{0}(x):={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}={\frac {d}{dx}}\ln \Gamma (x).$

Le dimostrazioni adottano il metodo della massima verosimiglianza, dove la funzione di verosimiglianza dato il campione è

$\{X_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R} ^{+}$

${\mathcal {L}}(\{X_{i}\}|\theta ,k)={\frac {1}{\theta ^{nk}\Gamma ^{n}(k)}}\,\cdot \,\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k-1}\,e^{-{\frac {1}{\theta }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.$

Dimostrazione stimatore di θ

Il parametro $\theta$ è il più semplice da stimare.

Notiamo che la funzione di verosimiglianza è ovunque positiva e nel limite degli estremi di $\theta$, si annulla.

$\lim _{\theta \rightarrow 0^{+}}{\mathcal {L}}=0$

$\lim _{\theta \rightarrow +\infty }{\mathcal {L}}=0$

Pertanto se imponiamo la sua derivata uguale a zero, nel caso la soluzione sia unica, questa deve per forza essere un punto di massimo.

$\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)_{\theta ={\hat {\theta }}}={\frac {e^{-{\frac {1}{\hat {\theta }}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}{\Gamma ^{n}(k)}}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k-1}\,\cdot \left({\hat {\theta }}^{-nk-2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-nk{\hat {\theta }}^{-nk-1}\right)$

Occorre adesso eguagliare a zero tale espressione

$\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)_{\theta ={\hat {\theta }}}=0\,\Rightarrow \,{\hat {\theta }}^{-nk-2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-nk{\hat {\theta }}^{-nk-1}=0\,\Rightarrow \,{\hat {\theta }}={\frac {1}{nk}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

Ed ecco il nostro stimatore di $\theta$, che ricorda molto una media aritmetica, riscalata sul parametro $k$ (che ricordiamo essere uguale a 1 nel caso particolare della distribuzione esponenziale). Si può notare facilmente che il valor atteso di questo stimatore è proprio $\theta$, data la linearità dell'operatore.

$\mathbb {E} [{\hat {\theta }}]=\mathbb {E} \left[{\frac {1}{kn}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right]={\frac {1}{kn}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} [x_{i}].$

Ricordiamo $\mathbb {E} [x_{i}]=k\theta$

$\mathbb {E} [{\hat {\theta }}]={\frac {nk\theta }{kn}}=\theta .$

Dimostrazione stimatore di k

Prendiamo ora in esame il calcolo dello stimatore per $k$.

Anche qui la funzione di verosimiglianza si annulla per il limite di $k\rightarrow 0^{+}$ e $k\rightarrow +\infty$, pertanto procediamo con il calcolo della derivata.

$\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial k}}\right)_{k={\hat {k}}}\!\!\!\!\!=e^{-{\frac {1}{\theta }}\sum x_{i}}\left(\prod x_{i}\right)^{{\hat {k}}-1}\left[{\frac {\ln \left(\prod x_{i}\right)}{\theta ^{n{\hat {k}}}\Gamma ^{n}({\hat {k}})}}-n{\frac {\ln(\theta )+\psi _{0}({\hat {k}})}{\theta ^{n{\hat {k}}}\Gamma ^{n}({\hat {k}})}}\right]={\frac {e^{-{\frac {1}{\theta }}\sum x_{i}}\left(\prod x_{i}\right)^{{\hat {k}}-1}}{\theta ^{n{\hat {k}}}\Gamma ^{n}({\hat {k}})}}\left[\ln \left(\prod {\frac {x_{i}}{\theta }}\right)-n\psi _{0}({\hat {k}})\right].$

Con $\psi _{0}(k)$ indichiamo la funzione digamma così definita:

$\psi _{0}(x):={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}={\frac {d}{dx}}\ln \Gamma (x),$

che può essere espressa mediante una relazione integrale

$\psi _{0}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-(1+t)^{-x}}{t}}dt.$

Eguagliando a zero la nostra funzione di verosimiglianza otteniamo il nostro punto di massimo

$\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial k}}\right)_{k={\hat {k}}}\!\!\!\!\!=0\,\Rightarrow \,\ln \left(\prod {\frac {x_{i}}{\theta }}\right)-n\psi _{0}({\hat {k}})=0\,\Rightarrow \,\psi _{0}({\hat {k}})=\ln \left({\sqrt[{n}]{\prod {\frac {x_{i}}{\theta }}}}\right)$

La funzione digamma, nei reali positivi è strettamente crescente, per cui esiste la funzione inversa

${\hat {k}}=\psi _{0}^{-1}\left[\ln \left({\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{\theta }}}}\right)\right]=\psi _{0}^{-1}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right].$

Questo stimatore ottenuto è asintoticamente corretto, ma per valori finiti andrebbe verificato il suo valore atteso che, se risultasse essere $k$, allora sarebbe un corretto stimatore.

Calcoliamo quindi

$\mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]=\mathbb {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right){\frac {x_{i}^{k-1}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}e^{-{\frac {x_{i}}{\theta }}}dx_{i},$

dove abbiamo usato la linearità del valore atteso e scritto la sua definizione su variabile aleatoria continua.

$\mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]={\frac {1}{n\theta ^{k}\Gamma (k)}}\sum _{i=1}^{n}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)x_{i}^{k-1}e^{-{\frac {x_{i}}{\theta }}}dx_{i}={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {t}{\theta }}\right)t^{k-1}e^{-{\frac {t}{\theta }}}dt$

Tutti gli integrali nella $i$-esima variabile sono uguali tra di loro, quindi la loro somma dà $n$ volte il singolo integrale nella generica variabile di integrazione $t$.

$\mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {t}{\theta }}\right)t^{k-1}e^{-{\frac {t}{\theta }}}dt={\frac {\theta ^{k-1}}{\theta ^{k-1}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }\ln(u)u^{k-1}e^{-u}du={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }u^{k-1}\ln(u)e^{-u}du$

e il risultato di quest'ultimo integrale è proprio $\Gamma (k)\psi _{0}(k)$ per qualunque $k$ con parte reale positiva. Abbiamo quindi ottenuto l'identità

$\mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]=\psi _{0}(k),$

che non è sufficiente a dire che lo stimatore sia corretto (non solo asintoticamente), ma è tuttavia necessario.

In effetti dalla disuguaglianza di Jensen (secondo cui $\varphi (\mathbb {E} [X])\leq \mathbb {E} [\varphi (X)]$ per una qualunque variabile aleatoria X e una funzione convessa $\varphi$) si ottiene un risultato più forte grazie al fatto che la funzione $\psi _{0}^{-1}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ è convessa su tutto il suo dominio.

Infatti usando la disuguaglianza di Jensen per $X=\psi _{0}({\hat {k}})$ e $\varphi =\psi _{0}^{-1}$ risulterà

$\psi _{0}^{-1}\left(\mathbb {E} \left[\psi _{0}({\hat {k}})\right]\right)\leq \mathbb {E} \left[\psi _{0}^{-1}\left(\psi _{0}({\hat {k}})\right)\right]=\mathbb {E} [{\hat {k}}].$

Dall'uguaglianza ottenuta in precedenza il membro di sinistra si semplifica così da avere:

$k\leq \mathbb {E} [{\hat {k}}].$

Voci correlate

• Funzione Gamma
• Funzione digamma
• Funzione di verosimiglianza
• Distribuzione di Erlang

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su distribuzione Gamma

Collegamenti esterni

• (EN) William L. Hosch, gamma distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Gamma, su MathWorld, Wolfram Research.

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