Distribuzione di Fréchet

In teoria delle probabilità la distribuzione di Fréchet è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali positivi.

Distribuzione di Fréchet
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$\alpha >0\$
Supporto	$\mathbb {R} ^{+}$
Funzione di densità	$\alpha x^{-1-\alpha }e^{-x^{-\alpha }}\$
Funzione di ripartizione	$e^{-x^{-\alpha }}\$
Valore atteso	$\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)$ se $\alpha >1$ (con $\Gamma$ la funzione Gamma)
Mediana	$\left({\frac {1}{\log 2}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$
Moda	$\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$
Varianza	$\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}$ se $\alpha >2$ (con $\Gamma$ la funzione Gamma)

Prende il nome dal matematico francese Maurice René Fréchet, che la descrisse nel 1927.

Definizione

La distribuzione di Fréchet di parametro $\alpha >0$ è definita sui reali positivi con funzione di ripartizione

$F(x)=e^{-x^{-\alpha }}$

la sua funzione di densità di probabilità è

$f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}$.

Caratteristiche

La distribuzione di Fréchet di parametro $\alpha$ ha momenti semplici

$\mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\alpha \int _{0}^{\infty }x^{k-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}dx$,

Applichiamo un semplice cambio di variabili $t=x^{-\alpha },\,dt=-\alpha x^{-\alpha -1}dx$

$\mu _{k}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}dt$

Questo integrale converge qualora $1-{\frac {k}{\alpha }}>0\Rightarrow k<\alpha$

$\mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)$ se $k<\alpha$

dove $\Gamma$ è la funzione Gamma.

In particolare una variabile aleatoria con questa distribuzione

• se $\alpha >1$ ha speranza matematica $E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})$ e
• se $\alpha >2$ ha varianza ${\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-\Gamma ^{2}(1-{\tfrac {1}{\alpha }})$

I quantili $q_{a}$ di ordine $a$ si esprimono tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

$q_{a}=F^{-1}(a)=\left({\frac {1}{\log {\tfrac {1}{a}}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$.

In particolare la mediana è

$q_{1/2}=({\tfrac {1}{\log 2}})^{\frac {1}{\alpha }}$.

La moda della distribuzione è $\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$.

Altre distribuzioni

La distribuzione di Fréchet può essere generalizzata tramite altri due parametri, $\mu$ e $\sigma$, descrivendo una variabile aleatoria ${\tfrac {X-\mu }{\sigma }}$ al posto di $X$; la funzione di ripartizione corrispondente è

$F(x)=e^{-({\frac {x-\mu }{\sigma }})^{-\alpha }}$.

La distribuzione di Fréchet è una distribuzione generalizzata dei valori estremi, una famiglia di distribuzioni di probabilità che descrive anche la distribuzione di Weibull nel caso particolare in cui un parametro sia uguale a 1 e, come caso limite, la distribuzione di Gumbel.

Voci correlate

• Distribuzione generalizzata dei valori estremi
• Funzione Gamma
• Teoria dei valori estremi

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