Dominio semplice

I domini delle funzioni a più variabili possono presentare una forma di regolarità per cui è possibile delimitare la regione da intervalli e grafici di funzione. Si parla quindi di dominio semplice o normale rispetto alla variabile delimitabile da un intervallo. La normalità di un dominio è molto importante in molte definizioni di integrale multiplo e della sua risoluzione tramite le formule di riduzione. Inoltre la presenza di un dominio regolare permette ulteriori teoremi e formule d'integrazione, come le formule di Gauss-Green, il teorema della divergenza e il teorema del rotore.

Domini normali nel piano

In $\mathbb {R} ^{2}$ esistono due casi di normalità, rispetto agli assi:

Dominio normale all'asse $x$

Dominio normale all'asse $y$

Dominio normale rispetto all'asse x

La regione è delimitata per l'asse $x$ da due valori numerici e per l'asse $y$ da due funzioni della variabile $x$ continue nell'intervallo che la delimita:

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b,\ f(x)\leq y\leq g(x),f,g\in C[a,b]\}.$

Dominio normale rispetto all'asse y

La regione è delimitata per l'asse $y$ da due valori numerici e per l'asse $x$ da due funzioni della variabile $y$ continue nell'intervallo che la delimita:

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y),f,g\in C[a,b]\}.$

Domini normali nello spazio

Esempio di dominio normale in R3 (piano xy)

In $\mathbb {R} ^{3}$ esistono sei tipi diversi di normalità, rispetto ai piani coordinati. Sia $T\subset \mathbb {R} ^{3}$ l'insieme considerato e $D$ la proiezione ortogonale di $T$ sul piano coordinato fissato, allora si hanno le seguenti sei possibilità:

Dominio normale rispetto al piano (x,y)

$T$ è normale al piano $(x,y)$

• con $D$ normale all'asse $x;$
• con $D$ normale all'asse $y.$

Dominio normale rispetto al piano (y,z)

$T$ è normale al piano $(y,z)$

• con $D$ normale all'asse $y;$
• con $D$ normale all'asse $z.$

Dominio normale rispetto al piano (z,x)

$T$ è normale al piano $(z,x)$

• con $D$ normale all'asse $x;$
• con $D$ normale all'asse $z.$

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" $D$ e compreso tra le funzioni $a(x,y)$e $b(x,y)$:

$T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ (x,y)\in D,\ a(x,y)\leq z\leq b(x,y)\}$, con $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y)\}.$

In generale in $\mathbb {R} ^{n}$ il numero dei domini semplici è dato dalla relazione $n!$, ossia tutte le possibili combinazioni tra versori.

Dominio normale regolare e orientamento della frontiera

Dominio normale regolare

Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe ${\mathcal {C}}^{1}$. Inoltre un dominio regolare $N$ è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari $N_{i}$, a due a due privi di punti interni in comune:

$N=\bigcup _{i=1}^{n}N_{i}.$

Orientamento della frontiera

Sia $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ dominio regolare, convenzionalmente si dice che $\partial D$ è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti $\gamma _{1},\dots ,\gamma _{k}\in {\mathcal {C}}^{1}$ tali che i versori normali $N_{1}(t),\dots ,N_{k}(t)$ canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con $+\partial D$.

Lemma sulla decomposizione dei normali

Siano $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ e $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ domini normali si ha che $\forall \delta ,\varepsilon >0$ esiste una decomposizione di $D$ e di $E$ del tipo $D=\bigcup _{i=1}^{n}D_{i}$ e $E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}$ tali che:

1. $D_{i}$ ed $E_{i}$ sono domini normali;
2. $D_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap D_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing \quad$ e $\quad E_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap E_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\varnothing ,\quad \forall i\neq j;$
3. $\operatorname {diam} (D_{i})<\delta \quad$ e $\quad \operatorname {diam} (E_{i})<\varepsilon ,\quad \forall i=1,\dots ,n,\quad$ dove $\operatorname {diam} (A):=\sup\{\|x-y\|\ |\ x,y\in A\subset \mathbb {R} ^{n}\}$ è il diametro del dominio.

Bibliografia

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Nicola Fusco Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.

Voci correlate

• Dominio (matematica)
• Integrale multiplo