Eccentricità (matematica)

L'eccentricità in matematica è un parametro numerico non negativo che caratterizza le sezioni coniche a meno di similitudine: ellissi per (in particolare circonferenze per ), parabole per iperboli per L'eccentricità può essere interpretata come una misura di quanto una sezione conica è lontana dall'essere una circonferenza.

L'eccentricità può essere definita come un parametro che interviene nella costruzione di una conica, oppure in funzione degli angoli del cono e del piano che lo seziona, rispetto all'asse di rotazione del cono. Siccome il "tipo" di conica (la sua classe di similitudine) e le sue caratteristiche sono definiti in funzione dell'eccentricità, questa può essere ricavata indirettamente dalle formule.

Definizione modifica

Costruzione geometrica modifica

 
Costruzione geometrica della parabola (e=1)

Fissati nel piano una retta   (direttrice) e un punto   (fuoco) esterno a  , una conica di eccentricità   è il luogo dei punti   che hanno distanza dal fuoco pari a   volte la loro distanza dalla direttrice:

 

Sezione conica modifica

 
Sezione conica

Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura   (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice, che forma un angolo   con l'asse di rotazione del cono; l'eccentricità della sezione conica è definita come:

 

Classificazione modifica

Ellisse modifica

Per  , ovvero  , si ha un'ellisse, che ha   come uno dei due fuochi.

Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica

 

l'eccentricità  , l'asse maggiore  , l'asse minore   e la distanza interfocale   sono legati tra loro dalle formule

 
 
 

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

 
 

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto   tra i semiassi. In particolare per  , ovvero  , l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto  ).

Parabola modifica

Per  , ovvero   si ottiene una parabola avente fuoco   e direttrice  : è il luogo dei punti equidistanti da   e da  .

Iperbole modifica

Per  , ovvero  , si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è  .

Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

 

con asintoti

 

l'eccentricità  , la distanza tra i vertici  , i coefficienti angolari   degli asintoti e la distanza interfocale   sono legati tra loro dalle formule

 

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

 

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari   degli asintoti.

In particolare per  , ossia quando l'iperbole è equilatera (cioè  ), questo è possibile solo se

 

ossia solo se  , geometricamente questo avviene solo quando l'angolo formato dalla sezione assiale del cono supera un angolo retto.

Voci correlate modifica

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Collegamenti esterni modifica

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