Elemento assorbente
In matematica, un elemento assorbente è un particolare tipo di elemento di un insieme rispetto ad un'operazione binaria nel dato insieme. Il risultato della combinazione di un elemento assorbente con qualsiasi altro elemento dell'insieme è l'elemento assorbente stesso. Nella teoria dei semigruppi, l'elemento assorbente è chiamato elemento zero.[1][2]
Definizione modifica
Sia una coppia ordinata di un insieme e un'operazione binaria definita nell'insieme stesso (cioè un magma). Un elemento assorbente di è tale che, per tutti gli elementi di , si ha .
Una definizione più ampia distingue due tipi di elemento assorbente: l'elemento zero destro, per cui per ogni , e l'elemento zero sinistro, per cui per ogni .[2] Un elemento che sia zero destro che zero sinistro è un elemento assorbente secondo la definizione precedente.
Proprietà modifica
- Se un magma gode di un elemento zero destro ed uno zero sinistro , allora essi coincidono e costituiscono l'elemento zero del magma. Infatti, .
- Se un magma ha un elemento assorbente, esso è unico.
Esempi modifica
| Insieme | Operazione | Elemento assorbente |
|---|---|---|
| numeri reali | · (moltiplicazione) | 0 |
| numeri interi | massimo comun divisore | 1 |
| matrici quadrate | · (moltiplicazione) | matrice nulla |
| numeri reali estesi | elemento minimo | −∞ |
| numeri reali estesi | elemento massimo | +∞ |
| insiemi | ∩ (intersezione) | { } (insieme vuoto) |
| sottoinsiemi di M | ∪ (unione) | M |
| logica booleana | ∧ (congiunzione logica) | ⊥ (falso) |
| logica booleana | ∨ (disgiunzione inclusiva) | ⊤ (vero) |
| Insieme | Operazione | Elemento zero sinistro |
| numeri reali | : (divisione) | 0 |
Note modifica
- ^ Howie, pp. 2-3.
- ^ a b Kilp, Knauer, Mikhalev, pp. 14-15.
Bibliografia modifica
- (EN) John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, 1995, ISBN 0-19-851194-9.
- (EN) M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, in De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
- (EN) Jonathan Golan, Semirings and Their Applications, Springer, 1999, ISBN 0-7923-5786-8.
Voci correlate modifica
Collegamenti esterni modifica
- (EN) Elemento assorbente, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
