Equazione di Smoluchowski

In fisica l'equazione di Smoluchowski, il cui nome è dovuto a Marian von Smoluchowski, è la correzione della seconda legge di Fick con l'aggiunta di un termine di smorzamento che ha origine da una forza $-\nabla U$ smorzata da un attrito viscoso con coefficiente $\zeta$ tendente a spostare la densità verso regioni a minima energia potenziale $U$ .^[1]

Sia $\phi (r,t)$ una concentrazione, $D$ la costante di diffusione, $\zeta$ il fattore di spostamento e $U(r,t)$ un'energia potenziale. Allora l'equazione di Smoluchowski descrive l'evoluzione temporale della densità secondo l'equazione:

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla \phi )+\zeta ^{-1}\nabla \cdot (\phi \nabla U)=\nabla ^{2}\phi +(\nabla D+\zeta ^{-1}\nabla U)\nabla \phi +\zeta ^{-1}\nabla ^{2}U\phi

L'equazione è consistente con il moto di una particella che obbedisce ad un'equazione differenziale stocastica, con termine $-\zeta ^{-1}\nabla U$ e diffusività $D$ .

L'equazione di Smoluchowski è formalmente identica all'equazione di Fokker-Planck, con l'unica differenza nell'interpretazione fisica di $w$ : una distribuzione di particelle nello spazio nel primo caso, di velocità nel secondo.

Soluzione stazionaria modifica

Una soluzione all'equazione di Smoluchowski invariante nel tempo è:

\phi (x)=Ce^{-D^{-1}\zeta ^{-1}U(x)}

dove $C$ è una costante di normalizzazione. Quindi nello stato stazionario si trovano alte concentrazioni in presenza di bassi potenziali, e l'accumulazione è maggiore quando la diffusività $D$ o la $\zeta$ sono piccole. La distribuzione è formalmente identica alla distribuzione canonica della fisica statistica, e strettamente legata alla distribuzione di Boltzmann.

Altre equazioni di Smoluchowski modifica

Nella prima metà del XX secolo diverse equazioni venivano chiamate equazioni di Smoluchowski. In una rassegna,^[2] Chandrasekhar affermava nel 1943 che l'equazione di diffusione con termine di spostamento "viene talvolta chiamata equazione di Smoluchowski"; da allora, è diventato d'uso in letteratura. Vi sono anche l'equazione di coagulazione di Smoluchowski e la relazione di Einstein–Smoluchowski.

Note modifica

^ M. v. Smoluchowski, Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung, Ann. Phys. 353 (4. Folge 48), 1103–1112 (1915) http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/pms/pms2/pms2132.pdf
^ S. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943), equation (312).

Voci correlate modifica

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[1] M. v. Smoluchowski, Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung, Ann. Phys. 353 (4. Folge 48), 1103–1112 (1915) http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/pms/pms2/pms2132.pdf

[2] S. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943), equation (312).

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