In matematica , l'equazione di Lagrange , anche nota come equazione di d'Alembert o equazione di d'Alembert-Lagrange , che prende il nome da Jean d'Alembert e Joseph Louis Lagrange , è un'equazione differenziale del primo ordine della forma:
y
=
x
f
(
y
′
)
+
g
(
y
′
)
{\displaystyle y=xf(y')+g(y')}
dove
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
derivabili note. La precedente è talvolta ottenuta riducendo (se possibile) l'equazione:
h
(
y
′
)
=
x
f
(
y
′
)
+
y
g
(
y
′
)
{\displaystyle h(y')=x\,f(y')+y\,g(y')}
Un caso particolare è l'equazione di Clairault .
Ponendo
y
′
=
z
{\displaystyle y'=z}
y
=
x
f
(
z
)
+
g
(
z
)
{\displaystyle y=xf(z)+g(z)}
Derivando rispetto a
x
{\displaystyle x}
z
−
f
(
z
)
=
d
z
d
x
[
x
f
′
(
z
)
+
g
′
(
z
)
]
{\displaystyle z-f(z)={\frac {dz}{dx}}[xf'(z)+g'(z)]}
Se il primo termine, uguagliato a zero, ha delle radici
z
1
,
⋯
,
z
n
{\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{n}}
z
′
{\displaystyle z'}
y
=
z
k
x
+
g
(
z
k
)
k
∈
{
1
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle y=z_{k}x+g(z_{k})\qquad k\in \{1,\cdots ,n\}}
Laddove
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
{\displaystyle z}
d
x
d
z
=
x
f
′
(
z
)
z
−
f
(
z
)
+
g
′
(
z
)
z
−
f
(
z
)
∗
{\displaystyle {\frac {dx}{dz}}=x{\frac {f'(z)}{z-f(z)}}+{\frac {g'(z)}{z-f(z)}}\qquad *}
che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine in
x
{\displaystyle x}
x
=
h
(
z
,
C
)
{\displaystyle x=h(z,C)}
{
x
=
h
(
z
,
C
)
y
=
f
(
z
)
h
(
z
,
C
)
+
g
(
z
)
∗
∗
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{x=h(z,C)}\\&{y=f(z)h(z,C)+g(z)}\qquad **\\\end{matrix}}\right.}
Sia dato:
y
=
x
y
′
2
+
3
2
y
′
2
−
y
′
3
{\displaystyle y=xy'^{2}+{\frac {3}{2}}y'^{2}-y'^{3}}
Per trovare le soluzioni di
z
−
f
(
z
)
{\displaystyle z-f(z)}
z
−
z
2
=
0
⇒
z
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle z-z^{2}=0\Rightarrow z\in \{0,1\}}
le soluzioni particolari sono:
{
y
=
0
y
=
x
+
1
2
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{y=0}\\&{y=x+{\frac {1}{2}}}\\\end{matrix}}\right.}
Applicando la
∗
{\displaystyle *}
d
x
d
z
=
2
x
1
−
z
+
3
z
−
z
2
z
−
z
2
{\displaystyle {\frac {dx}{dz}}={\frac {2x}{1-z}}+3{\frac {z-z^{2}}{z-z^{2}}}}
la cui soluzione è:
x
=
z
−
1
+
1
+
c
(
z
−
1
)
2
{\displaystyle x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}
Sostituendo nella
∗
∗
{\displaystyle **}
{
x
=
z
−
1
+
1
+
c
(
z
−
1
)
2
y
=
z
2
(
z
−
1
+
1
+
c
(
z
−
1
)
2
)
+
3
2
z
2
−
z
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}\\&{y=z^{2}\left(z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}\right)+{\frac {3}{2}}z^{2}-z^{3}}\\\end{matrix}}\right.}
È possibile eliminare la z risolvendo una delle due equazioni sopra, e sostituendo. Ad esempio, la prima ha come soluzione reale
z
=
3
(
c
+
1
)
(
27
+
27
c
−
4
x
3
)
6
3
+
2
x
3
−
27
c
−
27
54
+
x
2
9
3
(
c
+
1
)
(
27
+
27
c
−
4
x
3
)
6
3
+
2
x
3
−
27
c
−
27
54
+
1
3
(
x
+
3
)
{\displaystyle z={}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}+{\frac {x^{2}}{9{}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}}}+{\frac {1}{3}}(x+3)}
È evidente il motivo per cui, a parte fortunate eccezioni, si preferisce lasciare le soluzioni come parametriche.
(EN Oeuvres , 1 , G. Olms, reprint (1973) pp. 21–36
(EN Deutsch. Verlag Wissenschaft . (1956) 
![{\displaystyle z-f(z)={\frac {dz}{dx}}[xf'(z)+g'(z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5725ac0c9e911ca057df87f0b0c885be16d361f0)
