Equazioni di Jefimenko

In elettromagnetismo, le equazioni di Jefimenko descrivono il comportamento del campo elettrico e del campo magnetico in funzione di sorgenti arbitrarie dipendenti dal tempo. Le equazioni, dovute a Oleg D. Jefimenko, sono pertanto soluzione delle equazioni di Maxwell per una distribuzione assegnata di cariche e correnti al tempo ritardato, e permettono di generalizzare la legge di Coulomb e la legge di Biot-Savart.^[1]^[2]

Le equazioni modifica

Il vettore

\mathbf {r}

è la posizione in cui viene calcolato il campo rispetto alla sorgente, integrata rispetto alla variabile

\mathbf {r'}

.

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico ed il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica $\rho$ o corrente elettrica $\mathbf {J}$ dipendente dal tempo, ed hanno la seguente forma:^[3]

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

dove $\mathbf {r} '$ è un punto all'interno della distribuzione di carica, $\mathbf {r}$ è un punto nello spazio e:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia $\mathbf {D}$ e $\mathbf {H}$ hanno la stessa forma.^[4]

Si possono derivare le equazioni di Jefimenko a partire dai potenziali ritardati $\varphi$ ed $\mathbf {A}$ ,^[5] che hanno la forma:

\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '

I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

ed utilizzando la relazione:

c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}

si possono ottenere le equazioni di Jefimenko rimpiazzando $\varphi$ ed $\mathbf {A}$ con i campi $\mathbf {E}$ e $\mathbf {B}$ .

^ Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Appleton-Century-Crofts (New-York - 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN 978-0-917406-08-9.
^ David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
^ Jackson, Pag. 247.
^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media, American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902
^ Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3

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