Equivalenza sinistra-destra tra matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici $A$ e $B$ sono SD-equivalenti quando esistono due matrici invertibili $M$ e $N$ tali che:

$A=MBN$

La sigla SD sta per equivalenza sinistra-destra.

La SD-equivalenza è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme $M(m,n,K)$ di tutte le matrici $m\times n$ a valori in un campo $K$. Si tratta di una relazione di equivalenza più semplice della più usata similitudine: due matrici risultano essere SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

Definizione

Siano $A$ e $B$ due matrici $m\times n$, Queste sono SD-equivalenti se esistono due matrici invertibili $M$ e $N$ (la prima $m\times m$, la seconda $n\times n$) tali che:

$A=MBN$

Rango

Il rango è un invariante completo per la SD-equivalenza: questo vuol dire che due matrici $m\times n$ sono SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

In particolare, ogni matrice $A$ è SD-equivalente ad una matrice del tipo:

$B={\begin{pmatrix}I_{r}&0_{r,n-r}\\0_{m-r,r}&0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}}$

dove $r$ è il rango di $A$, $I_{r}$ è la matrice identità $r\times r$ e $0_{k,h}$ è la matrice nulla $k\times h$.

Relazioni con le altre equivalenze

Due matrici simili sono anche SD-equivalenti. L'opposto non è però vero in generale. Ad esempio, le matrici costanti di un dato ordine multiple dell'identità sono tutte SD-equivalenti, mentre ciascuna di esse da sola costituisce una classe di similitudine; ancora due matrici con lo stesso rango ma con diverso determinante (oppure con autovalori differenti) sono SD-equivalenti ma non simili; evidenti coppie di queste matrici hanno la forma $(M,cM)$ con c $\neq 1$.

Bibliografia

• Marco Abate, Geometria, McGraw-Hill, 1996.

Voci correlate

• Congruenza tra matrici
• Rango (algebra lineare)
• Similitudine tra matrici

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equivalenza sinistra-destra tra matrici, su MathWorld, Wolfram Research.