Estensione separabile

In matematica, un'estensione separabile è un'estensione di campi algebrica $K\subseteq L$ in cui il polinomio minimo di ogni elemento di $L$ è un polinomio separabile. Un'estensione non separabile è detta inseparabile.

Le estensioni separabili sono particolarmente importanti nella teoria di Galois: infatti il teorema di corrispondenza di Galois, che è al centro della teoria, vale per estensioni finite che sono separabili e normali (dette estensioni di Galois).

Se la caratteristica di $K$ è 0, allora tutte le estensioni algebriche di $K$ sono separabili. Se la caratteristica è un numero primo $p$, invece, possono esistere estensioni non separabili: ad esempio, l'estensione $\mathbb {Z} _{p}(X^{p})\subseteq \mathbb {Z} _{p}(X)$ non è separabile, perché il polinomio minimo di $X$ su $\mathbb {Z} _{p}(X^{p})$ è $T^{p}-X^{p}$, che non è separabile. Se tutte le estensioni algebriche di $K$ sono separabili, allora $K$ è detto essere un campo perfetto; per quanto detto sopra, ogni campo di caratteristica 0 è perfetto. Se invece $K$ ha caratteristica $p$ allora è perfetto se e solo se ogni elemento ha una radice $p$-esima nel campo (cioè il suo endomorfismo di Frobenius è suriettivo); ad esempio, ogni campo finito è perfetto.

La chiusura separabile di un campo

L'insieme di tutti gli elementi di $L$ separabili su $K$ è un campo, indicato con $K_{s}$, e detto chiusura separabile di $K$ in $L$; $K\subseteq L$ è un'estensione separabile se e solo se la chiusura separabile è esattamente $L$. Il grado $[K_{s}:K]$ è detto grado di separabilità di $K\subseteq L$, mentre il quoziente $[L:K]/[K_{s}:K]$ è detto grado di inseparabilità. Quest'ultimo può essere pensato come un modo per "misurare" quanto un'estensione è lontana dall'essere separabile.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estensione separabile, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Estensione separabile, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.