Nella fisica atomica il rapporto giromagnetico è una costante moltiplicativa nell'espressione dei livelli energetici degli elettroni in un atomo immerso in un debole campo magnetico
Il campo annulla la degenerazione data dalla comunanza del momento angolare orbitale, ed il fattore di Landé proviene dal calcolo della perturbazione data dal campo al primo ordine perturbativo.
Formalmente il fattore-g di Landé è definito:[1]
g
J
=
g
L
J
(
J
+
1
)
−
S
(
S
+
1
)
+
L
(
L
+
1
)
2
J
(
J
+
1
)
+
g
S
J
(
J
+
1
)
+
S
(
S
+
1
)
−
L
(
L
+
1
)
2
J
(
J
+
1
)
.
{\displaystyle g_{J}=g_{L}{\frac {J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}
Se si approssima il fattore-g orbitale pari a 1, e
g
S
=
2
{\displaystyle g_{S}=2}
g
J
≈
1
+
J
(
J
+
1
)
−
L
(
L
+
1
)
+
S
(
S
+
1
)
2
J
(
J
+
1
)
{\displaystyle g_{J}\approx 1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}
dove J è il numero quantico del momento angolare totale , L è il numero quantico azimutale e S il numero quantico di spin .
Essendo S =1/2 per l'elettrone, sostituendo 3/4 al posto di S (S +1), si ottiene che il fattore di Landé per un atomo con momento angolare totale F=I+J:
g
F
=
g
J
F
(
F
+
1
)
−
I
(
I
+
1
)
+
J
(
J
+
1
)
2
F
(
F
+
1
)
+
g
I
F
(
F
+
1
)
+
I
(
I
+
1
)
−
J
(
J
+
1
)
2
F
(
F
+
1
)
≈
g
J
F
(
F
+
1
)
−
I
(
I
+
1
)
+
J
(
J
+
1
)
2
F
(
F
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{F}&=g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}+g_{I}{\frac {F(F+1)+I(I+1)-J(J+1)}{2F(F+1)}}\\&\approx g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}\\\end{aligned}}}
Tale approssimazione è giustificata dal fatto che
g
I
{\displaystyle g_{I}}
g
J
{\displaystyle g_{J}}
m
e
m
p
{\displaystyle {\frac {m_{e}}{m_{p}}}}
m
e
{\displaystyle m_{e}}
m
p
{\displaystyle m_{p}}
La derivazione seguente si attiene a Ashcroft e Mermin ,[2] [3]
Sia il momento angolare orbitale sia il momento angolare di spin degli elettroni contribuiscono al momento magnetico. In particolare, ciascuno di loro da solo contribuisce al momento magnetico con la forma seguente
μ
→
L
=
L
→
g
L
μ
B
{\displaystyle {\vec {\mu }}_{L}={\vec {L}}g_{L}\mu _{B}}
μ
→
S
=
S
→
g
S
μ
B
{\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}={\vec {S}}g_{S}\mu _{B}}
μ
→
J
=
μ
→
L
+
μ
→
S
{\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}={\vec {\mu }}_{L}+{\vec {\mu }}_{S}}
dove
g
L
≈
−
1
{\displaystyle g_{L}\approx -1}
g
S
≈
−
2
{\displaystyle g_{S}\approx -2}
Si noti che i segni negativi nelle espressioni di cui sopra sono dovuti al fatto che l'elettrone ha carica negativa, e il valore di
g
S
{\displaystyle g_{S}}
equazione di Dirac . Il momento magnetico totale
μ
→
J
{\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}}
J
→
=
L
→
+
S
→
{\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}
teorema di Wigner-Eckart , il suo valore di aspettazione di fatto è lungo la direzione di
J
→
{\displaystyle {\vec {J}}}
g secondo le regole dell'interazione spin-orbita . In particolare, il fattore g è definito come conseguenza del teorema stesso
⟨
J
,
J
z
|
μ
→
J
|
J
,
J
z
′
⟩
=
g
J
μ
B
⟨
J
,
J
z
|
J
→
|
J
,
J
z
′
⟩
{\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J_{z'}\rangle =g_{J}\mu _{B}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z'}\rangle }
Pertanto,
⟨
J
,
J
z
|
μ
→
J
|
J
′
,
J
z
′
⟩
⋅
⟨
J
′
,
J
z
′
|
J
→
|
J
,
J
z
⟩
=
g
J
μ
B
⟨
J
,
J
z
|
J
→
|
J
′
,
J
z
′
⟩
⋅
⟨
J
′
,
J
z
′
|
J
→
|
J
,
J
z
⟩
{\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J',J'_{z}\rangle \cdot \langle J',J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =g_{J}\mu _{B}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J',J'_{z}\rangle \cdot \langle J',J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle }
∑
J
′
,
J
z
′
⟨
J
,
J
z
|
μ
→
J
|
J
′
,
J
z
′
⟩
⋅
⟨
J
′
,
J
z
′
|
J
→
|
J
,
J
z
⟩
=
∑
J
′
,
J
z
′
g
J
μ
B
⟨
J
,
J
z
|
J
→
|
J
′
,
J
z
′
⟩
⋅
⟨
J
′
,
J
z
′
|
J
→
|
J
,
J
z
⟩
{\displaystyle \sum _{J',J'_{z}}\langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J',J'_{z}\rangle \cdot \langle J',J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =\sum _{J',J'_{z}}g_{J}\mu _{B}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J',J'_{z}\rangle \cdot \langle J',J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle }
⟨
J
,
J
z
|
μ
→
J
⋅
J
→
|
J
,
J
z
⟩
=
g
J
μ
B
⟨
J
,
J
z
|
J
→
⋅
J
→
|
J
,
J
z
⟩
=
g
J
μ
B
ℏ
2
J
(
J
+
1
)
{\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =g_{J}\mu _{B}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =g_{J}\mu _{B}\quad \hbar ^{2}J(J+1)}
Si ottiene
g
J
⟨
J
,
J
z
|
J
→
⋅
J
→
|
J
,
J
z
⟩
=
⟨
J
,
J
z
|
g
L
L
→
⋅
J
→
+
g
S
S
→
⋅
J
→
|
J
,
J
z
⟩
{\displaystyle g_{J}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =\langle J,J_{z}|g_{L}{{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}+g_{S}{{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}|J,J_{z}\rangle }
=
⟨
J
,
J
z
|
g
L
(
L
→
2
+
1
2
(
J
→
2
−
L
→
2
−
S
→
2
)
)
+
g
S
(
S
→
2
+
1
2
(
J
→
2
−
L
→
2
−
S
→
2
)
)
|
J
,
J
z
⟩
{\displaystyle =\langle J,J_{z}|g_{L}{({\vec {L}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}+g_{S}{({\vec {S}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}|J,J_{z}\rangle }
=
g
L
ℏ
2
2
(
J
(
J
+
1
)
+
L
(
L
+
1
)
−
S
(
S
+
1
)
)
+
g
S
ℏ
2
2
(
J
(
J
+
1
)
−
L
(
L
+
1
)
+
S
(
S
+
1
)
)
{\displaystyle ={\frac {g_{L}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)+L(L+1)-S(S+1))+{\frac {g_{S}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)-L(L+1)+S(S+1))}
g
J
=
g
L
J
(
J
+
1
)
+
L
(
L
+
1
)
−
S
(
S
+
1
)
2
J
(
J
+
1
)
+
g
S
J
(
J
+
1
)
−
L
(
L
+
1
)
+
S
(
S
+
1
)
2
J
(
J
+
1
)
{\displaystyle g_{J}=g_{L}{\frac {J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}
^ The Magnetic Interaction and the Landé g-factor hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . URL consultato il 25 marzo 2020 . ^ Neil W. Ashcroft e N. David Mermin, Solid state physics ISBN 9780030493461 . ^ Fujia Yang e Joseph H. Hamilton, Modern Atomic and Nuclear Physics World Scientific , 2009, p. 132, ISBN 9789814277167 . 
