Flusso (matematica)

In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione

Un flusso definito su un insieme $X$ è un'azione di gruppo di $(\mathbb {R} ,+)$ su $X$. Più esplicitamente, un flusso è una funzione $\varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ con $\varphi (x,0)=x$ e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

$\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,t+s)$

per ogni $s,t$ in $\mathbb {R}$ e con $x\in X$.

L'insieme ${\mathcal {O}}(x,\varphi )=\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ è chiamato orbita di $x$ attraverso $\varphi$.

Normalmente è richiesto che un flusso sia compatibile con le strutture definite su $X$, ad esempio se $X$ è uno spazio topologico si richiede solitamente che il flusso sia una funzione continua (in questo modo il flusso forma un sottogruppo ad un parametro di omeomorfismi). In molti casi $X=\mathbb {R} ^{n}$, oppure è una varietà differenziabile con $\varphi$ una funzione differenziabile (che forma un sottogruppo ad un parametro di diffeomorfismi).

Un flusso locale è un flusso definito su un sottoinsieme:

$\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}$

e si introduce in genere quando si trattano flussi di campi vettoriali.

In molti campi, come in ingegneria, in fisica e nello studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è scritto implicitamente come $x(t,x_{0})\equiv \phi _{t}(x_{0})$, intendendo che la variabile $x$ dipende dal tempo $t$ e dal punto iniziale $x_{0}$.

Sistemi dinamici

Un comune esempio di flusso in fisica matematica sono le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, usata per descrivere i sistemi dinamici:

$y'=f(y)\qquad y(t=0)=x_{0}$

dove il flusso $\psi _{t}(x_{0})$ corrispondente all'orbita (evoluzione del sistema nello spazio delle fasi) per il punto iniziale $x_{0}$ è l'unica soluzione al problema ai valori iniziali dato.

Bibliografia

• (EN) I.P. [I.P. Kornfel'd] Cornfel'd, S.V. Fomin, Ya.G. Sinai, Ergodic theory, Springer (1982)
• (EN) P.R. Halmos, Lectures on ergodic theory, Math. Soc. Japan (1956) MR0097489 Zbl 0073.09302
• (EN) E. Hopf, Ergodentheorie, Springer (1970) MR0024581 Zbl 0185.29001
• (EN) A.M. Vershik, Measurable realization of continuous automorphism groups of a unitary ring Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., 29: 1 (1965) pp. 127–136 Zbl 0194.16302
• (EN) G.W. Mackey, Point realizations of transformation groups Illinois J. Math.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Equazione differenziale ordinaria
• Orbita (matematica)
• Sistema autonomo (matematica)
• Varietà stabile

Collegamenti esterni

• (EN) D.V. Anosov, Continuous flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) D.V. Anosov, Measurable flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) D.V. Anosov, Special flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) flow, in PlanetMath.