Formula di Eulero-Maclaurin

Nel calcolo infinitesimale la formula di Eulero-Maclaurin fornisce un collegamento di grande utilità tra il calcolo degli integrali (vedi calcolo infinitesimale) e il calcolo di somme e serie. Essa si può usare per approssimare integrali mediante somme finite e viceversa per valutare somme finite e somme di serie a partire da valori di integrali definiti ottenuti analiticamente o mediante approssimazioni ottenute usando il computer. In particolare da questa formula si deducono molti sviluppi asintotici e la formula di Falhauber per la somma di potenze di interi è una sua immediata conseguenza.

La formula è stata scoperta indipendentemente da Leonhard Euler e Colin Maclaurin attorno al 1735. Euler l'ha trovata mentre cercava di calcolare serie infinite lentamente convergenti, mentre Maclaurin l'ha utilizzata per calcolare degli integrali specifici. Questa formula è stata generalizzata nel 1886 da Gaston Darboux (v. Formula di Darboux).

La formula

Se n è un intero positivo e f(x) è una funzione liscia (cioè una funzione differenziabile un numero sufficientemente elevato di volte) definita per tutti i numeri reali x tra 0 e n, allora l'integrale

$I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx$

può essere approssimato con la somma

$S=f(0)/2+f(1)+\cdots +f(n-1)+f(n)/2$

(vedi regola del trapezio). La formula di Euler - Maclaurin fornisce espressioni per la differenza tra la somma e l'integrale in termini di derivate di ordine elevato f^(k) nei punti finali dell'intervallo 0 e n. Per ogni numero naturale p, abbiamo

$S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R$

dove B₂ = 1/6, B₄ = -1/30, B₆ = 1/42, B₈ = -1/30... sono i numeri di Bernoulli.

R è un termine di errore che è normalmente piccolo se p è abbastanza grande e può essere stimato come

$\left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}dx\,\left|f^{(2p+1)}(x)\right|.$

Impiegando la regola di sostituzione, si può adattare questa formula anche a funzioni che sono definite su qualche intervallo della retta reale diverso da $[0,n]$.

Se f è un polinomio e p è un intero abbastanza grande, allora il termine residuo vale zero. Per esempio, se f(x) = x³, può essere scelto p = 2 per ottenere dopo la semplificazione

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.$

Con la funzione f(x) = log(x), la formula di Eulero-Maclaurin può essere usata per derivare con precisione l'errore stimato per l'approssimazione di Stirling della funzione fattoriale.

Bibliografia

• M. Abramowitz e I. Stegun (eds.) Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 806

Collegamenti esterni

• Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula, su numbers.computation.free.fr.