Equazione omogenea
modifica
Si consideri una PDE nella forma
∂
f
∂
t
(
x
,
t
)
+
μ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
+
1
2
σ
2
(
x
,
t
)
∂
2
f
∂
x
2
(
x
,
t
)
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)=0,}
sotto la condizione terminale
f
(
x
,
T
)
=
ψ
(
x
)
,
{\displaystyle f(x,T)=\psi (x),}
dove
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
ψ
{\displaystyle \psi }
f
{\displaystyle f}
valore atteso
f
(
x
,
t
)
=
E
[
ψ
(
X
T
)
|
X
t
=
x
]
,
{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right],}
dove
X
{\displaystyle X}
processo di Itō caratterizzato dall'equazione differenziale stocastica
d
X
=
μ
(
X
,
t
)
d
t
+
σ
(
X
,
t
)
d
W
t
{\displaystyle dX=\mu (X,t)dt+\sigma (X,t)dW_{t}}
Il valore atteso sopra può essere approssimato tramite metodi Monte Carlo o quasi-Monte Carlo .
La verifica della correttezza della soluzione procede applicando il lemma di Itō alla funzione incognita
f
{\displaystyle f}
d
f
(
x
,
t
)
=
(
μ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
+
∂
f
∂
t
(
x
,
t
)
+
1
2
σ
2
(
x
,
t
)
∂
2
f
∂
x
2
(
x
,
t
)
)
d
t
+
σ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
W
t
.
{\displaystyle df(x,t)=\left(\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)\right)dt+\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dW_{t}.}
Il primo termine tra parentesi è la PDE in questione, ed è per ipotesi nullo. Integrando ambo i membri dell'espressione restante si ottiene
∫
t
T
d
f
(
x
,
t
)
=
f
(
X
T
,
T
)
−
f
(
x
,
t
)
=
∫
t
T
σ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
W
t
,
{\displaystyle \int _{t}^{T}df(x,t)=f(X_{T},T)-f(x,t)=\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t},}
da cui, riorganizzando i termini e prendendo il valore atteso di ambo i membri
f
(
x
,
t
)
=
E
[
f
(
X
T
,
T
)
]
−
E
[
∫
t
T
σ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
d
W
t
]
{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t}\right]}
Poiché il valore atteso di un integrale di Itō rispetto al moto browniano
W
t
{\displaystyle W_{t}}
f
(
x
,
t
)
=
E
[
f
(
X
T
,
T
)
]
=
E
[
ψ
(
X
T
)
]
=
E
[
ψ
(
X
T
)
|
X
t
=
x
]
{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right]}
La soluzione sopra illustrata può essere estesa a una classe di PDE più ampia; è infatti possibile mostrare che l'equazione della forma
∂
f
∂
t
(
x
,
t
)
+
μ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
+
1
2
σ
2
(
x
,
t
)
∂
2
f
∂
x
2
(
x
,
t
)
−
k
(
t
)
f
(
x
,
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-k(t)f(x,t)=0}
sotto la condizione terminale
f
(
x
,
T
)
=
ψ
(
x
)
{\displaystyle \ f(x,T)=\psi (x)}
ha per soluzione:
f
(
x
,
t
)
=
E
[
exp
{
−
∫
t
T
k
(
u
)
d
u
}
ψ
(
X
T
)
|
X
t
=
x
]
.
{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[\exp \left\{-\int _{t}^{T}k(u)du\right\}\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].}
La dimostrazione di questo risultato procede sulla falsariga di quella esposta sopra, con la differenza che il lemma di Itō è applicato alla funzione
g
(
x
,
t
)
=
f
(
x
,
t
)
exp
{
∫
t
T
k
(
u
)
d
u
}
.
{\displaystyle g(x,t)=f(x,t)\exp \left\{\int _{t}^{T}k(u)du\right\}.}
La soluzione di equazioni nella forma testé esaminata è frequente nell'ambito della finanza matematica; la celebre equazione di Black-Scholes , che determina il prezzo di non arbitraggio di uno strumento derivato , ha infatti tale forma.
Si consideri la PDE
∂
f
∂
t
(
x
,
t
)
+
μ
(
x
,
t
)
∂
f
∂
x
(
x
,
t
)
+
1
2
σ
2
(
x
,
t
)
∂
2
f
∂
x
2
(
x
,
t
)
−
V
(
x
,
t
)
f
(
x
,
t
)
+
u
(
x
,
t
)
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)f(x,t)+u(x,t)=0,}
definita per ogni
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle t\in [0,T]}
f
(
x
,
T
)
=
ψ
(
x
)
,
{\displaystyle f(x,T)=\psi (x),}
dove
μ
,
σ
,
ψ
,
V
,
u
{\displaystyle \mu ,\sigma ,\psi ,V,u}
T
{\displaystyle T}
f
:
R
×
[
0
,
T
]
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }
valore atteso condizionato
f
(
x
,
t
)
=
E
Q
[
∫
t
T
e
−
∫
t
r
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
u
(
X
r
,
r
)
d
r
+
e
−
∫
t
T
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
ψ
(
X
T
)
|
X
t
=
x
]
{\displaystyle f(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]}
rispetto alla misura di probabilità
Q
{\displaystyle Q}
X
{\displaystyle X}
processo di Itō (processo di Wiener generalizzato) definito dall'equazione:
d
X
=
μ
(
X
,
t
)
d
t
+
σ
(
X
,
t
)
d
W
Q
{\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q}}
dove
W
Q
(
t
)
{\displaystyle W^{Q}(t)}
moto browniano ) e la condizione iniziale per
X
(
t
)
{\displaystyle X(t)}
X
(
0
)
=
x
{\displaystyle X(0)=x}
Sia
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
Y
(
s
)
=
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
f
(
X
s
,
s
)
+
∫
t
s
e
−
∫
t
r
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
u
(
X
r
,
r
)
d
r
{\displaystyle Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr}
si ottiene:
d
Y
=
d
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
f
(
X
s
,
s
)
+
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
d
f
(
X
s
,
s
)
+
d
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
d
f
(
X
s
,
s
)
+
d
∫
t
s
e
−
∫
t
r
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
u
(
X
r
,
r
)
d
r
{\displaystyle dY=de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,df(X_{s},s)+de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }df(X_{s},s)+d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr}
Dal momento che:
d
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
=
−
V
(
X
s
,
s
)
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
d
s
{\displaystyle de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds}
il terzo termine è
o
(
d
t
d
u
)
{\displaystyle o(dtdu)}
d
∫
t
s
e
−
∫
t
r
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
u
(
X
r
,
r
)
d
r
=
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
u
(
X
s
,
s
)
d
s
{\displaystyle d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)ds}
Applicando nuovamente il lemma di Itō a
d
u
(
X
s
,
s
)
{\displaystyle du(X_{s},s)}
d
Y
=
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
(
−
V
(
X
s
,
s
)
f
(
X
s
,
s
)
+
u
(
X
s
,
s
)
+
μ
(
X
s
,
s
)
∂
f
∂
X
+
∂
f
∂
s
+
1
2
σ
2
(
X
s
,
s
)
∂
2
f
∂
X
2
)
d
s
+
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
σ
(
X
,
s
)
∂
f
∂
X
d
W
{\displaystyle dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)f(X_{s},s)+u(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial f}{\partial X}}+{\frac {\partial f}{\partial s}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}f}{\partial X^{2}}}\right)\,ds+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW}
d
Y
=
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
σ
(
X
,
s
)
∂
f
∂
X
d
W
.
{\displaystyle dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW.}
Integrando questa equazione da
t
{\displaystyle t}
T
{\displaystyle T}
Y
(
T
)
−
Y
(
t
)
=
∫
t
T
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
σ
(
X
,
s
)
∂
f
∂
X
d
W
{\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW}
Prendendo il valore atteso (condizionato su
X
t
=
x
{\displaystyle X_{t}=x}
integrale di Itō , che ha valore atteso nullo, segue che:
E
[
Y
(
T
)
|
X
t
=
x
]
=
E
[
Y
(
t
)
|
X
t
=
x
]
=
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=f(x,t)}
Il risultato cercato si ottiene osservando che
E
[
Y
(
T
)
|
X
t
=
x
]
=
E
[
e
−
∫
t
T
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
f
(
X
T
,
T
)
+
∫
t
T
e
−
∫
t
r
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
u
(
X
r
,
r
)
d
r
|
X
t
=
x
]
{\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr{\Bigg |}X_{t}=x\right]}
ed infine:
f
(
x
,
t
)
=
E
[
e
−
∫
t
T
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
ψ
(
X
T
)
+
∫
t
T
e
−
∫
t
s
V
(
X
τ
,
τ
)
d
τ
u
(
X
s
,
s
)
d
s
|
X
t
=
x
]
.
{\displaystyle f(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )d\tau }u(X_{s},s)ds{\Bigg |}X_{t}=x\right].}
(EN Functional Integration and Quantum Physics (EN Quantum Theory for Mathematicians , Springer, 2013. (EN Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications , Springer-Verlag, 2009. 
![{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fccc3fd09a923d0ae8fd1162ce27b48cb685f4b)
![{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6e068eb7a39e579b2690251508e29d9384ef3c)
![{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e970bbded8eee1557d7913b13fa3f56674e70890)
![{\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[\exp \left\{-\int _{t}^{T}k(u)du\right\}\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5cd69501ece750e043f9d6b024315e03652b07)
![{\displaystyle t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7ea7b28971838e52f450c48053939e81daa26f)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a930f50995041524cb7c0071caa104f63c0e3a)
![{\displaystyle f(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63989fafd4f83ad094b02837ec268023656cc4e3)
![{\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=f(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d37e1c327463e74c6dfbd1ac1af8d9682e574da)
![{\displaystyle E[Y(T)|X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr{\Bigg |}X_{t}=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4728c41d0e34e4b43e445d2e4fb228c7bec459f4)
![{\displaystyle f(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )d\tau }u(X_{s},s)ds{\Bigg |}X_{t}=x\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2241f75636567706b071d6904bc4fac3b9c3d3c)
