Formula di Minkowski-Steiner

In matematica, la formula di Minkowski-Steiner è una formula che mette in relazione l'area superficiale e il volume di sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Più precisamente, essa definisce l'area superficiale come la "derivata" di un volume chiuso definito in modo opportuno.

La formula di Minkowski-Steiner è utilizzata, insieme al teorema di Brunn-Minkowski, per provare la disuguaglianza isoperimetrica. Essa porta il nome di Hermann Minkowski e Jakob Steiner.

Enunciato della formula di Minkowski-Steiner

Sia $n\geq 2$, e sia $A\subsetneq \mathbb {R} ^{n}$ un insieme compatto. Indichiamo con $\mu (A)$ la misura di Lebesgue (volume) di $A$. Definiamo la quantità $\lambda (\partial A)$ mediante la formula di Minkowski-Steiner

$\lambda (\partial A):=\liminf _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu (A)}{\delta }},$

dove

${\overline {B_{\delta }}}:=\left\{x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\left||x|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\leq \delta \right.\right\}$

denota la palla chiusa di raggio $\delta >0$ e

$A+{\overline {B_{\delta }}}:=\left\{a+b\in \mathbb {R} ^{n}\left|a\in A,b\in {\overline {B_{\delta }}}\right.\right\}$

è la somma di Minkowski di $A$ e ${\overline {B_{\delta }}}$, in modo che

$A+{\overline {B_{\delta }}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}{\mathrel {|}}\ {\mathopen {|}}x-a{\mathclose {|}}\leq \delta {\mbox{ per qualche }}a\in A\right\}.$

Osservazioni

Misura superficiale

Per insiemi $A$ "sufficientemente regolari", la quantità $\lambda (\partial A)$ corrisponde effettivamente alla misura $(n-1)$-dimensionale della frontiera $\partial A$ di $A$. Consultare Federer (1969) per una piena trattazione di questo problema.

Insiemi convessi

Quando l'insieme $A$ è un insieme convesso, il limite inferiore scritto sopra è un vero limite, e si può dimostrare che

$\mu \left(A+{\overline {B_{\delta }}}\right)=\mu (A)+\lambda (\partial A)\delta +\sum _{i=2}^{n-1}\lambda _{i}(A)\delta ^{i}+\omega _{n}\delta ^{n},$

dove i $\lambda _{i}$ sono funzioni continue di $A$ (vedere quermassintegral) e $\omega _{n}$ denota la misura (volume) della sfera unitaria in $\mathbb {R} ^{n}$:

$\omega _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\Gamma (n/2)}},$

dove $\Gamma$ denota la funzione Gamma.

Esempio: volume e area superficiale di una sfera

Prendendo $A={\overline {B_{R}}}$ si ottiene la seguente formula ben conosciuta valida per l'area superficiale della sfera di raggio $R$, $S_{R}:=\partial B_{R}$:

$\lambda (S_{R})=\lim _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left({\overline {B_{R}}}+{\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu \left({\overline {B_{R}}}\right)}{\delta }}$

$=\lim _{\delta \to 0}{\frac {[(R+\delta )^{n}-R^{n}]\omega _{n}}{\delta }}$

$={\frac {d}{dR}}\left(R^{n}\omega _{n}\right)=nR^{n-1}\omega _{n},$

dove $\omega _{n}$ è come indicato sopra.

Bibliografia

• Dacorogna, Bernard, Introduction to the Calculus of Variations, London, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-508-2.
• Federer, Herbert, Geometric Measure Theory, New-York, Springer-Verlag, 1969.

Voci correlate

• Teorema di Brunn-Minkowski
• Sfera unitaria
• Ipersfera