Dominio lipschitziano

In matematica, un dominio lipschitziano o dominio a frontiera lipschitziana è un sottoinsieme aperto e connesso di uno spazio euclideo la cui frontiera è "sufficientemente regolare", nel senso che può essere pensato essere localmente come il grafico di una funzione lipschitziana. Il termine deriva dal matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

Molti teoremi di immersione di Sobolev richiedono che il dominio in esame sia lipschitziano; di conseguenza molte equazioni alle derivate parziali e problemi variazionali vengono studiati su domini lipschitziani.

Definizione

Sia $n\in \mathbb {N}$ e $\Omega$ un sottoinsieme aperto e limitato di $\mathbb {R} ^{n}$. Sia $\partial \Omega$ la frontiera di $\Omega$. Allora $\partial \Omega$ viene definita frontiera lipschitziana ed $\Omega$ dominio lipschitziano se per ogni punto $p\in \partial \Omega$ esiste un raggio $r>0$ ed una mappa $h_{p}:B_{r}(p)\to Q$ tale che:

• $h_{p}$ è una biezione
• $h_{p}$ e $h_{p}^{-1}$ sono entrambe lipschitziane
• $h_{p}(\partial \Omega \cap B_{r}(p))=Q_{0}$
• $h_{p}(\Omega \cap B_{r}(p))=Q_{+}$

dove:

$B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\|x-p\|<r\}$

denota la palla n-dimensionale di raggio $r$ attorno a $p$, $Q$ denota la palla unitaria $B_{1}(0)$ e:

$Q_{0}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}=0\}$

$Q_{+}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}>0\}$

Bibliografia

• (EN) Dacorogna, B., Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London, 2004, ISBN 1-86094-508-2.

Voci correlate

• Frontiera (topologia)
• Funzione lipschitziana
• Grafico di una funzione

Collegamenti esterni

• (EN) Ronald H.W. Hoppe - Finite Element Methods - Chapter 2 (PDF), su math.uh.edu.