Funzione degli errori

funzione speciale

La funzione degli errori (chiamata anche funzione degli errori di Gauss), in matematica, è una funzione speciale che si incontra in probabilità, in statistica e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali. Si definisce come:

Grafico della funzione degli errori

valida per ogni numero reale si tratta dunque di una funzione intera.

Grafico della funzione degli errori complementare

Strettamente collegate alla funzione degli errori sono la funzione degli errori complementare:

e la funzione degli errori complessa:

Tabella dei valori modifica

La seguente tabella presenta alcuni valori assunti dalla funzione degli errori (erf) e dalla funzione degli errori complementare (erfc), al variare del parametro  :

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0,00 0,0000000 1,0000000 1,30 0,9340079 0,0659921
0,05 0,0563720 0,9436280 1,40 0,9522851 0,0477149
0,10 0,1124629 0,8875371 1,50 0,9661051 0,0338949
0,15 0,1679960 0,8320040 1,60 0,9763484 0,0236516
0,20 0,2227026 0,7772974 1,70 0,9837905 0,0162095
0,25 0,2763264 0,7236736 1,80 0,9890905 0,0109095
0,30 0,3286268 0,6713732 1,90 0,9927904 0,0072096
0,35 0,3793821 0,6206179 2,00 0,9953223 0,0046777
0,40 0,4283924 0,5716076 2,10 0,9970205 0,0029795
0,45 0,4754817 0,5245183 2,20 0,9981372 0,0018628
0,50 0,5204999 0,4795001 2,30 0,9988568 0,0011432
0,55 0,5633234 0,4366766 2,40 0,9993115 0,0006885
0,60 0,6038561 0,3961439 2,50 0,9995930 0,0004070
0,65 0,6420293 0,3579707 2,60 0,9997640 0,0002360
0,70 0,6778012 0,3221988 2,70 0,9998657 0,0001343
0,75 0,7111556 0,2888444 2,80 0,9999250 0,0000750
0,80 0,7421010 0,2578990 2,90 0,9999589 0,0000411
0,85 0,7706681 0,2293319 3,0 0,9999779 0,0000221
0,90 0,7969082 0,2030918 3,10 0,9999884 0,0000116
0,95 0,8208908 0,1791092 3,20 0,9999940 0,0000060
1,00 0,8427008 0,1572992 3,30 0,9999969 0,0000031
1,10 0,8802051 0,1197949 3,40 0,9999985 0,0000015
1,20 0,9103140 0,0896860 3,50 0,9999993 0,0000007

I valori sopra riportati possono essere ottenuti sviluppando la funzione degli errori in serie di Taylor e integrando, da cui si ottiene l'espressione:

 

Il numero di termini da considerare dipende dalla precisione del valore che si vuole ottenere (nella tabella precedente ad esempio si è raggiunta una precisione fino alla sesta cifra decimale[1]).

Considerazioni generali modifica

La funzione degli errori differisce solo per traslazione e omotetia dalla distribuzione normale, cioè dalla funzione di distribuzione cumulativa normale standard, che denotiamo con  :

 

In probabilità e statistica viene usata più frequentemente la distribuzione normale standard, mentre in altre branche dalla matematica viene usata più spesso la funzione degli errori.

Quando i risultati di una serie di misure sono descritti da una distribuzione normale con deviazione standard   allora   esprime la probabilità che l'errore di una singola misura si trovi fra   e  

Per continuazione analitica la funzione degli errori può essere definita anche come funzione di una variabile complessa. Essa si incontra, ad esempio, nelle soluzioni dell'equazione del calore con le condizioni al contorno date dalla funzione scalino di Heaviside.

L'integrale che definisce la funzione degli errori non può essere espresso in forma chiusa mediante funzioni elementari, ma l'integrando può essere sviluppato in una serie di potenze che può essere integrata termine a termine. I valori dell'integrale al variare della x, sono stati ampiamente tabulati.

Generalizzazione modifica

Viene studiata anche una famiglia di funzioni che comprende la funzione degli errori:

 

La funzione degli errori si riconosce nella  


Grafico delle funzioni degli errori generalizzate   Curva grigia:   curva rossa:   curva verde:   curva blu:   e curva gialla:   (La curva gialla è molto vicina all'asse delle   e in pratica non è visibile.) Se si dividono per   tutte le   per   dispari appaiono molto simili (ma non identiche). Anche le   relative a   pari appaiono simili (ma non identiche) dopo essere state divise per   Le   relative a   dispari e pari appaiono simili solo sulla parte del grafico relativa a   positivi.

Sviluppo asintotico modifica

Per grandi valori di   un utile sviluppo asintotico della funzione degli errori complementare, utilizzabile quindi anche per la funzioni degli errori, è:

 

Questa serie diverge per ogni   finito. Tuttavia in pratica solo pochi primi termini di questo sviluppo consentono di ottenere una buona approssimazione della   mentre la sua serie di Taylor data in precedenza converge molto lentamente.

Funzioni collegate modifica

La funzione degli errori è un caso particolare della funzione di Mittag-Leffler e si può esprimere come funzione ipergeometrica confluente. Essa possiede anche una semplice espressione in termini dell'integrale di Fresnel.

Note modifica

  1. ^ Infatti la settima cifra decimale, anche se è mostrata nella tabella, può essere approssimata per eccesso o per difetto.

Bibliografia modifica

Altri progetti modifica

Collegamenti esterni modifica

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