Funzione di Marcum

In statistica, la Funzione di Marcum $Q_{M}$ è definita come:

$Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}\left(ax\right)dx$

con $I_{M-1}$ funzione modificata di Bessel di ordine  M − 1. Una definizione alternativa è:

$Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}\left(ab\right)$

La Funzione di Marcum è utilizzata ad esempio come funzione di ripartizione per la distribuzione $\chi ^{2}$ non centrale e per la distribuzione di Rice.

Bibliografia

• Marcum, J. I. (1950) "Table of Q Functions". U.S. Air Force RAND Research Memorandum M-339. Santa Monica, CA: Rand Corporation, Jan. 1, 1950.
• Nuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the Q_M Function, IEEE Transactions on Information Theory, 21(1), 95-96, ISSN 0018-9448
• Weisstein, Eric W. Marcum Q-Function. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]