Funzione di Weierstrass

In matematica, la funzione di Weierstraß è una funzione reale di variabile reale che ha la proprietà di essere continua in ogni punto, ma di non essere derivabile in nessuno. Deve il suo nome e la sua scoperta (nel 1872) a Karl Weierstraß.

Grafico della funzione di Weierstraß, con ingrandimento attorno ad un punto di minimo. Come si può notare nel cerchio, la funzione presenta auto similarità

Storicamente, l'importanza della funzione è che si è trattata della prima funzione pubblicata in letteratura che corrisponde ad un controesempio all'affermazione che ogni funzione continua è derivabile a parte per un insieme di punti isolati del dominio.

Costruzione

La funzione è definita come:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),$

dove $0<a<1$ e $b$ intero positivo dispari, tali che

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .$

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Weierstrass, su MathWorld, Wolfram Research.