Funzione rampa

La funzione rampa è una funzione reale elementare, facilmente calcolabile come la media aritmetica della variabile indipendente e del suo valore assoluto.

Questa funzione è utilizzata nel campo dell'ingegneria (ad esempio, nella teoria del DSP). Il nome funzione rampa deriva dalla forma del suo grafico.

Definizioni

Grafico della funzione rampa

La funzione rampa $R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ può essere definita analiticamente in svariati modi. Definizioni possibili sono le seguenti.

• Funzione definita a tratti:

$R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0.\end{cases}}$

• La media tra una linea retta con pendenza unitaria e il suo modulo:

$R(x):={\frac {x+|x|}{2}},$

ciò può essere ottenuto notando la definizione seguente: $\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$, per cui $a=x$ e $b=0.$

• La funzione gradino moltiplicata per una linea retta con pendenza unitaria:

$R\left(x\right):=xH\left(x\right).$

• La convoluzione della funzione gradino con sé stessa:

$R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right).$

• L'integrale della funzione gradino:

$R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi .$

Proprietà analitiche

Non negatività

In tutto il dominio la funzione è non negativa $R(x)\geqslant 0$ per ogni $x\in \mathbb {R} .$ Quindi la funzione è uguale al suo valore assoluto: $\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right).$

Derivata

La sua derivata è la funzione gradino:

$R'(x)=H(x)\ \mathrm {se} \ x\neq 0.$

Segue dalla quinta definizione.

Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier di $R(x)$ è:

${\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)$ $=$ $\int _{-\infty }^{+\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ ${\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},$

dove $\delta (x)$ è la delta di Dirac.

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace di $R(x)$ è:

${\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{+\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.$

Proprietà algebriche

Invarianza alle iterazioni

Ogni funzione iterata della rampa è uguale a sé stessa, cioè

$R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right).$

Dimostrazione: $R(R(x))={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}={\frac {2R(x)}{2}}=R(x).$

Collegamenti esterni

• Mathworld, su mathworld.wolfram.com.