Funzione sinc

In matematica la funzione sinc (o seno cardinale), indicata come $\mathrm {sinc} (x)$ o, più raramente, con $\mathrm {Sa} (x)$, può essere definita in due modi.

La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non normalizzata (rosso).

La funzione sinc normalizzata, usata nell'elaborazione numerica dei segnali e nella teoria dell'informazione è definita come:

$\mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}$

mentre la funzione sinc non normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:

$\mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}$

In entrambi i casi il limite della funzione in $0$ è uguale a $1$, ciò è immediata conseguenza del calcolo del limite notevole e quindi risulta essere una singolarità eliminabile. La sinc è quindi una funzione analitica ovunque.

Proprietà

• La funzione sinc non normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di $\pi$; quella normalizzata per valori interi, sempre diversi da zero.

• I massimi e minimi locali per la funzione sinc non-normalizzata si trovano nei punti di intersezione con la funzione coseno. Quindi ${\frac {\sin(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )$ per ogni $\xi$ per cui la derivata di $\sin(\xi ) \over \xi$ è nulla.

• La funzione sinc normalizzata può essere rappresentata come prodotto infinito:

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$

oppure utilizzando la funzione gamma

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}$

• La trasformata di Fourier della funzione sinc normalizzata è uguale a $\mathrm {rect} (f)$

$\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sinc} (t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)$

dove la funzione rettangolo assume il valore unitario per argomenti tra $-{\frac {1}{2}}$ e ${\frac {1}{2}}$. Questo integrale di Fourier include il caso speciale

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}dx=\mathrm {rect} (0)=1$

che è un integrale improprio. Poiché

$\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|dx=+\infty$

non si tratta di un integrale di Lebesgue.

Voci correlate

• Seno (matematica)
• Teoria dei segnali
• Filtro sinc
• Punto di discontinuità
• Integrale di Borwein

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione sinc, su MathWorld, Wolfram Research.