Geometria epipolare

La geometria epipolare è la geometria della visione stereoscopica. Essa descrive le relazioni e i vincoli geometrici che legano due immagini 2D della stessa scena 3D catturata da due fotocamere con posizione e orientamento distinto.

Una semplice applicazione della geometria epipolare. Due immagini prese da due fotocamere poste in due posizioni diverse. La geometria epipolare descrive le relazioni che esistono fra le due immagini e gli oggetti reali.

Geometria Epipolare

Elementi essenziali di una geometria epipolare

Immaginiamo di voler fotografare un elemento nello spazio 3D nel punto X tramite due fotocamere centrate in O_L e O_R. Il punto in questione verrà rispettivamente proiettato sul piano immagine della fotocamera sinistra in x_L e in x_R nel piano immagine della fotocamera destra.

La proiezione del punto X sul piano immagine delle rispettive fotocamere avviene tramite una trasformazione proiettiva P_L (e P_R) ovvero una matrice che tiene conto della posizione, dell'orientamento e dei parametri formali della rispettiva fotocamera. La relazione può essere espressa matematicamente come

$x_{L}=P_{L}X$

$x_{R}=P_{R}X$

Punti epipolari

Poiché i centri O_L e O_R di ogni camera sono in posizioni distinte è possibile proiettare l'uno sul piano immagine dell'altro.

$e_{L}=P_{L}O_{R}$

$e_{R}=P_{R}O_{L}$

I due punti e_L e e_R prendono il nome di epipoli o punti epipolari.

Rette epipolari

Il punto x_L può essere visto come l'intersezione della retta passante per O_L e X, chiamata raggio di proiezione, con il piano immagine della fotocamera sinistra.

Immaginiamo quindi di proiettare tale retta sul piano immagine destro. Poiché la trasformazione proiettiva è un omografia se il raggio di proiezione collega X con O_L allora la sua proiezione collegherà le proiezioni dei due punti. Ovvero sarà la retta passante per x_R e la proiezione di O_L, ovvero proprio il punto epipolare destro e_R. Esprimendo i due punti in coordinate omogenee la retta può essere espressa come

$l_{R}=x_{R}\times e_{R}$

Tale retta prende il nome di retta epipolare. Lo stesso ragionamento può essere fatto analogamente con i raggi di proiezione della camera destra.

Piano epipolare

Come interpretazione alternativa consideriamo il piano su cui giacciono i punti X, O_L e O_R. Questo piano prende il nome di piano epipolare. Il piano epipolare associato ad un punto X intercetta i piani immagine esattamente nelle rette epipolari associate a X. Tutti i piani epipolari si incontrano nella retta che unisce i due epipoli che prende il nome di linea di base.

Ricostruzione della scena

La geometria epipolare ricopre un ruolo fondamentale nella ricostruzione di una scena tridimensionale a partire da una coppia di immagini stereoscopiche. La ricostruzione avviene tramite i seguenti passi:

1. Data una lista di punti corrispondenti nelle due immagini viene calcolata la matrice fondamentale F ovvero una matrice 3x3 di rango due tale che $x_{L}^{T}Fx_{R}=0$.
2. Dalla matrice fondamentale vengono ricavate le matrici che rappresentano le trasformazioni proiettive delle due camere tramite le relazioni:
   $P_{L}=[I|0]$
   $P_{R}=[[e_{R}]\times F|e_{R}]$.
3. Per ogni coppia di punti corrispondenti nell'immagine si stima il punto X tramite le informazioni ricavate dalle due matrici di proiezione.

Bibliografia

• (EN) Richard Hartley, Andrew Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed., Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54051-3.

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