Gruppo sporadico

In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, con gruppo sporadico si intende un gruppo semplice finito che è uno dei 26 casi eccezionali del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti. Questo teorema afferma infatti che, se $G$ è un gruppo semplice finito allora, $G$ è

• un gruppo con un numero primo di elementi, oppure
• un gruppo alternante $A_{n}$ con $n$ maggiore di $5$, oppure
• un gruppo di tipo Lie, oppure
• uno dei 26 gruppi sporadici.

I primi cinque gruppi sporadici furono scoperti da Emile Léonard Mathieu nel 1861 e nel 1873. I successivi furono scoperti tra il 1965 ed il 1975, generalmente prendono il nome dai loro scopritori.

Per via della loro struttura anomala, i gruppi sporadici sono oggetti matematici che presentano tuttora aspetti misteriosi e, presumibilmente ricchi di interessanti conseguenze. A tal proposito val la pena ricordare il problema del Monstrous Moonshine per il Mostro recentemente risolto da Richard Borcherds.

Lista ed ordini dei gruppi sporadici

I cinque gruppi di Mathieu:

• $M_{11}$, di ordine $2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11;$
• $M_{12}$, di ordine $2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11;$
• $M_{22}$, di ordine $2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11;$
• $M_{23}$, di ordine $2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23;$
• $M_{24}$, di ordine $2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23.$

I quattro gruppi di Janko:

• $J_{1}$, di ordine $2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19;$
• $J_{2}$, di ordine $2^{7}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7;$
• $J_{3}$, di ordine $2^{7}\cdot 3^{5}\cdot 5\cdot 17\cdot 19;$
• $J_{4}$, di ordine $2^{21}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11^{3}\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43.$

I tre gruppi di Conway:

• $Co_{3}$, di ordine $2^{10}\cdot 3^{7}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;$
• $Co_{2}$, di ordine $2^{18}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;$
• $Co_{1}$, di ordine $2^{21}\cdot 3^{9}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 23.$

Il gruppo di Higman-Sims:

• $HS$, di ordine $2^{9}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}\cdot 7.$

Il gruppo di McLaughlin:

• $HS$, di ordine $2^{7}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11.$

Il gruppo di Suzuki:

• $Suz$, di ordine $2^{13}\cdot 3^{7}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13.$

Il gruppo di Held:

• $He$, di ordine $2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 17.$

Il gruppo di Lyons:

• $Ly$, di ordine $2^{8}\cdot 3^{7}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 31\cdot 37\cdot 67.$

Il gruppo di Rudvalis:

• $Ru$, di ordine $2^{14}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13\cdot 29.$

Il gruppo di O'Nan:

• $O'N$, di ordine $2^{9}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 19\cdot 31.$

I tre gruppi di Fischer:

• $Fi_{22}$, di ordine $2^{17}\cdot 3^{9}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13;$
• $Fi_{23}$, di ordine $2^{18}\cdot 3^{13}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23;$
• $Fi_{24}'$, di ordine $2^{21}\cdot 3^{16}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 29.$

Il gruppo di Harada-Norton:

• $HN$, di ordine $2^{14}\cdot 3^{6}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 19.$

Il gruppo di Thompson:

• $Th$, di ordine $2^{15}\cdot 3^{10}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 13\cdot 19\cdot 31.$

Il Baby Mostro:

• $B$, di ordine $2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47.$

Il Mostro di Fischer-Griess:

• $M$, di ordine $2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^{9}\cdot 7^{6}\cdot 11^{2}\cdot 13^{3}\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71.$

Relazioni tra i gruppi sporadici

Può essere interessante notare che, contrariamente a quanto il loro nome possa far supporre, i gruppi sporadici hanno diversi legami tra loro e con gli altri gruppi semplici finiti. Ad esempio $M_{11}$ può venire costruito a partire dall'automorfismo esterno eccezionale di $Alt_{6}$ e tutti i gruppi di Mathieu possono essere costruiti ricorsivamente come gruppi di automorfismi di sistemi di Steiner. $Co_{1}$ è il quoziente modulo un centro di ordine $2$ del gruppo degli automorfismi del Reticolo di Leech (un reticolo intero $24$-dimensionale di uno spazio euclideo di dimensione 24). Come stabilizzatori di certi sottoreticoli di dimensione $1$ e $2$ del Reticolo di Leech si possono trovare $Co_{2}$, $Co_{3}$, $McL$, $HS$, e come certi sottogruppi locali di $Co_{1}$, anche $J_{2}$ e $Suz$. Inoltre il Reticolo di Leech può essere costruito a partire dal sistema di Steiner $S(24,8,5)$ associato a $M_{24}$. Esclusi i $6$ gruppi $J_{1}$, $O'N$, $J_{3}$, $Ly$, $Ru$ e $J_{4}$ (i cosiddetti Pariah), i restanti $20$ gruppi sporadici sono contenuti come sezioni nel Mostro e molti di questi compaiono come fattori di composizione nei sottogruppi locali del Mostro: ad esempio il Baby Mostro e $Co_{1}$ compaiono come quozienti di centralizzanti di opportuni elementi di ordine $2$ del Mostro, similmente nei normalizzanti dei sottogruppi di ordine $3$ compaiono $Fi_{24}'$ e $Suz$ e, per opportuni sottogruppi di ordine $5$, $7$ e $11$ si possono trovare in modo analogo rispettivamente $J_{2}$, $He$ e $M_{12}$. Allo stesso modo, nelle sezioni di sottogruppi locali del Baby Mostro si possono inoltre trovare: $Co_{2}$ e $HN$ nei centralizzanti di elementi di ordine $2$, $Fi_{22}$ nei normalizzanti di opportuni elementi di ordine $3$ e $HS$ in quelli di ordine $5$.

Bibliografia

• Michael Aschbacher:Sporadic groupsCambridge University Press, Cambridge 1994
• John Horton Conway: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
• John Horton Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3 Memoirs Amer. Math. Soc. vol. 40 number 3, 1998
• Robert L. Griess: "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo sporadico, su MathWorld, Wolfram Research.
• Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups, su brauer.maths.qmul.ac.uk.