Immersione (geometria)

In geometria, una immersione è una funzione differenziabile fra varietà differenziabili, il cui differenziale è ovunque iniettivo.

Le immersioni non sono necessariamente iniettive globalmente, ma lo sono localmente. La nozione di immersione è duale a quella di Sommersione.

Definizione

Una funzione differenziabile

$f:M\to N$

fra due varietà differenziabili è una immersione se il differenziale

$d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

è iniettivo per ogni punto $p$ di $M$. Equivalentemente, se il rango del differenziale è ovunque pari alla dimensione di $M$

$\operatorname {rank} \,f=\dim M.$

L'equivalenza fra le due definizioni è garantita dal teorema della dimensione.

Le varietà differenziabili $M$ e $N$ possono essere ad esempio degli aperti contenuti in spazi euclidei $\mathbb {R} ^{k}$ e $\mathbb {R} ^{n}$.

Iniettività

Una immersione $f$ non è necessariamente iniettiva. Lo è però localmente, grazie ad una versione del teorema di invertibilità locale: ogni punto $p$ di $M$ ha un intorno $U$ su cui la funzione è iniettiva.

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) R.W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
• (EN) F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3.

Voci correlate

• Immersione (matematica)
• Sommersione