L'integrale di Gauss è un integrale definito, calcolato per la prima volta da Gauss . È alla base della distribuzione normale (detta pure gaussiana ), mattone fondamentale della teoria della probabilità . La funzione integranda, normalizzata affinché l'area dell'integrale da
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
1
{\displaystyle 1}
funzione gaussiana .
La forma solitamente usata per l'integrale di Gauss è:
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},}
o l'equivalente
∫
0
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}
Una generalizzazione per una generica funzione gaussiana è:
∫
−
∞
+
∞
a
e
−
b
x
2
+
c
x
+
d
d
x
=
a
π
b
exp
(
c
2
4
b
+
d
)
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }a\,e^{-bx^{2}+cx+d}\,dx=a\,{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}\,\exp \left({\frac {c^{2}}{4b}}+d\right),}
dove
b
{\displaystyle b}
∫
−
∞
+
∞
e
i
b
x
2
d
x
=
e
i
s
e
g
n
o
(
b
)
π
4
π
|
b
|
=
i
π
b
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\,e^{ibx^{2}}\,dx=e^{i\mathrm {segno} (b){\frac {\pi }{4}}}\,{\sqrt {\frac {\pi }{|b|}}}={\sqrt {\frac {i\pi }{b}}}.}
Per una funzione a più variabili, dove
A
{\displaystyle A}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
∫
R
n
exp
(
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
A
i
j
x
i
x
j
)
d
n
x
=
(
2
π
)
n
det
A
,
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}},}
dove l'integrazione è effettuata su
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Calcolo dell'integrale
modifica
L'integrale indefinito
∫
e
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {e^{-x^{2}}}\,dx}
f
(
x
)
=
e
−
x
2
{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}
Coordinate polari nel piano
modifica
Consideriamo l'integrale:
I
1
=
∫
R
e
−
x
2
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
.
{\displaystyle I_{1}=\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}
Consideriamo ora l'integrale:
I
2
=
∬
R
2
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
+
∞
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.\end{aligned}}}
Osserviamo che, posto
f
(
x
,
y
)
=
e
−
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}}
f
(
x
,
y
)
=
g
(
x
)
h
(
y
)
=
(
e
−
x
2
)
(
e
−
y
2
)
{\displaystyle f(x,y)=g(x)h(y)=(e^{-x^{2}})(e^{-y^{2}})}
I
2
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
+
∞
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
(
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
)
(
∫
−
∞
+
∞
e
−
y
2
d
y
)
=
I
1
2
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy\\&=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}\,dy\right)\\&=I_{1}^{2}\end{aligned}}}
Essendo l'esponenziale una funzione sempre positiva, sarà sufficiente calcolare il valore dell'integrale doppio esteso ad
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
Calcoliamo dunque:
∬
C
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle \iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy,}
dove
C
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
2
+
y
2
≤
R
2
}
{\textstyle C=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\}}
R
>
0.
{\displaystyle R>0.}
Passando ad un sistema di coordinate polari nel piano:
φ
=
{
x
=
ρ
cos
θ
y
=
ρ
sen
θ
|
J
φ
|
=
|
∂
(
x
,
y
)
∂
(
ρ
,
θ
)
|
=
ρ
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \operatorname {sen} \theta \end{cases}}\qquad |J_{\varphi }|={\Biggl |}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )}}{\Biggl |}=\rho }
Q
=
φ
−
1
(
C
)
=
{
(
ρ
,
θ
)
∈
R
2
:
0
≤
ρ
≤
R
,
0
≤
θ
≤
2
π
}
{\displaystyle Q=\varphi ^{-1}(C)=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R^{2}} :0\leq \rho \leq R,\,0\leq \theta \leq 2\pi \}}
dunque:
∬
C
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
∬
Q
e
−
ρ
2
ρ
d
ρ
d
θ
=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
R
ρ
e
−
ρ
2
d
ρ
=
2
π
∫
0
R
ρ
e
−
ρ
2
d
ρ
=
π
[
−
e
−
ρ
2
]
0
R
=
π
(
1
−
e
−
R
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy&=\iint _{Q}e^{-\rho ^{2}}\rho \,d\rho \,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{R}\rho e^{-\rho ^{2}}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{R}\rho e^{-\rho ^{2}}\,d\rho \,=\,\pi {\biggl [}-e^{-\rho ^{2}}{\biggl ]}_{0}^{R}\\&=\pi {\biggl (}1-e^{-R^{2}}{\biggl )}.\end{aligned}}}
Quindi
I
1
2
=
I
2
=
lim
R
→
+
∞
∬
C
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
lim
R
→
+
∞
π
(
1
−
e
−
R
2
)
=
π
,
{\displaystyle I_{1}^{2}=I_{2}=\lim _{R\to +\infty }\iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\lim _{R\to +\infty }\pi {\biggl (}1-e^{-R^{2}}{\biggl )}=\pi ,}
e quindi
I
1
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
.
{\displaystyle I_{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
Un altro integrale gaussiano
modifica
Vediamo come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:
I
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
α
x
2
+
β
x
d
x
,
{\displaystyle I=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\alpha x^{2}+\beta x}dx,}
con
α
>
0.
{\displaystyle \alpha >0.}
−
α
x
2
+
β
x
=
−
(
α
x
−
β
2
α
)
2
+
β
2
4
α
.
{\displaystyle -\alpha x^{2}+\beta x=-\left({\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}}\right)^{2}+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}.}
Sostituendo si ha:
I
=
∫
−
∞
+
∞
exp
(
β
2
4
α
−
(
α
x
−
β
2
α
)
2
)
d
x
.
{\displaystyle I=\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\left({\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}}\right)^{2}\right)dx.}
Poiché il primo membro dell'esponenziale non dipende da
x
{\displaystyle x}
I
=
e
β
2
4
α
∫
−
∞
+
∞
e
−
(
α
x
−
β
2
α
)
2
d
x
.
{\displaystyle I=e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-({\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}})^{2}}dx.}
Effettuando il cambio di variabile
y
=
α
x
−
β
2
α
,
{\displaystyle y={\sqrt {\alpha }}x-{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}},}
d
y
=
α
d
x
⟹
d
x
=
d
y
α
{\displaystyle dy={\sqrt {\alpha }}dx\implies dx={\frac {dy}{\sqrt {\alpha }}}}
si ottiene
I
=
e
β
2
4
α
∫
−
∞
+
∞
e
−
y
2
α
d
y
,
{\displaystyle I=e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-y^{2}}}{\sqrt {\alpha }}}dy,}
che è l'integrale gaussiano già calcolato alla sezione precedente e che dà
I
=
π
α
e
β
2
4
α
.
{\displaystyle I={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}.}
Collegamenti esterni
modifica
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{C}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy&=\iint _{Q}e^{-\rho ^{2}}\rho \,d\rho \,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{R}\rho e^{-\rho ^{2}}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{R}\rho e^{-\rho ^{2}}\,d\rho \,=\,\pi {\biggl [}-e^{-\rho ^{2}}{\biggl ]}_{0}^{R}\\&=\pi {\biggl (}1-e^{-R^{2}}{\biggl )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11f3079841417de1ded94c9603ae2297cbaa9a1)
