Integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo a essere stata formulata.

Rappresentazione grafica dell'approssimazione numerica dell'integrale di Riemann

Definizione

Si consideri una funzione continua $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione ${\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$ in $n$ intervalli $[x_{i},x_{i+1}]\subset [a,b]$. Si definisce il calibro di una partizione ${\mathcal {P}}$ il massimo tra le ampiezze di tutti gli intervalli della partizione scelta, cioè

$c_{\mathcal {P}}:=\max _{i=0,\ldots ,n-1}\{x_{i+1}-x_{i}\}.$

Per ogni intervallo $[x_{i},x_{i+1}]$ si scelga arbitrariamente un elemento $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ e si definisca la somma di Riemann come:

$\sigma _{n}=\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$

Alcune scelte comuni sono

• $t_{i}=x_{i},$ in tal caso si ha una somma sinistra di Riemann;
• $t_{i}=x_{i+1},$ in tal caso si ha una somma destra di Riemann;
• $t_{i}={\frac {x_{i+1}+x_{i}}{2}},$ in tal caso si ha una somma media di Riemann.

La funzione $f$ è integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile in $[a,b]$ se esiste finito il limite (che si dimostra non dipendere dalla scelta dei $t_{i}$):

$\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sigma _{n}=:\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Integrale multiplo di Riemann

Sia $N\subset \mathbb {R} ^{n}$ un dominio normale, $f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}$ limitata e $\mu$ una misura. Sia ${\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}$ una partizione di $N$ in domini normali.

Si definisce la somma di Riemann-Darboux come:

$\sigma _{k}=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.$

In generale la funzione $f$ è integrabile in $N$ se esiste finito il limite:

$\lim _{\mu (N_{i})\to 0}\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}=\int _{N}\!f(x)\,\mathrm {d} x_{1}\dots \mathrm {d} x_{n}.$

Proprietà

Riemman-integrabilità e Darboux-integrabilità

In generale una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Allora:

$\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e $f(x)\leq g(x)$. Allora:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx.$

Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.$

Integrale di Stieltjes

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

$\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g.$

Se la funzione $g$ è differenziabile, vale la formula $\mathrm {d} g(x)=g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x$, e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di $fg^{\prime }$, cioè:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x.$

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografia

• Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
• Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
• Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
• Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
• Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
• Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
• Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
• Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
• Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri
• Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, 1998, ISBN 9788820728199, capitolo 8.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, capitolo 8.

Voci correlate

• Integrale
• Integrale improprio
• Integrale di Lebesgue
• Integrale sui cammini
• Derivata
• Funzione sommabile
• Metodi di integrazione
• Passaggio al limite sotto segno di integrale

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Riemann, integrale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Riemann Integral, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Integrale di Riemann, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)

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