In geometria quadridimensionale, l'ipertetraedro (detto anche 5-cella, pentacoro o 4-simplesso) è uno dei sei policori regolari. È il policoro regolare più semplice, la naturale estensione in dimensione 4 del triangolo (bidimensionale) e del tetraedro (tridimensionale).

Ipertetraedro
Diagramma di Schlegel del policoro
TipoPolicoro regolare
Forma celleTetraedri regolari
Nº celle5 tetraedri regolari
Nº facce10 triangoli equilateri
Nº spigoli10
Nº vertici5
Cuspidi dei vertici
(tetraedro regolare)
Simbolo di Schläfli{3,3,3}
Dualeipertetraedro (è autoduale)
Proprietàconvesso, regolare,
simplesso

L'ipertetraedro regolare è delimitato da tetraedri regolari, ed è uno dei sei politopi regolari, rappresentato dal simbolo di Schläfli {3,3,3}.

Descrizione

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Da un punto di vista matematico, un ipertetraedro è l'inviluppo convesso di 5 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale   che siano in posizione generale (cioè che non siano contenuti in un sottospazio affine). Ad esempio, si possono prendere i punti

 

L'inviluppo convesso è quindi l'insieme seguente:

 

Come tutti i politopi, l'ipertetraedro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

  • Il pentacoro ha 5 vertici  .
  • Ciascuna coppia di vertici è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 10 spigoli.
  • Ciascuna tripletta di vertici determina una faccia: ci sono quindi 10 facce (triangolari).
  • Ciascuna 4-upla di vertici determina una 3-faccia: ci sono quindi 5 facce tridimensionali (tetraedri).

Ogni vertice è collegato a 4 spigoli, 6 facce e 4 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).

Proiezioni

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Una proiezione dell'ipertetraedro nello spazio. Ci sono 5 vertici: ogni coppia di vertici è collegata da uno spigolo, ogni terna di vertici determina un triangolo, ogni quaterna determina una cella: celle e triangoli si sovrappongono nella proiezione.
 
In questa animazione è mostrata una proiezione nello spazio di un ipertetraedro che sta ruotando nello spazio 4-dimensionale  . La rotazione è una rotazione simultanea su due piani ortogonali.

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo  ).

Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un ipertetraedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.

Sviluppo

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Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 5 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

 
Uno sviluppo del pentacoro

Dualità

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L'ipertetraedro è autoduale, come tutti i simplessi.

Relazione di Eulero

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Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

 

In questo caso 5 + 10 = 10 + 5.

Modello

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Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l'involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l'involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell'una o nell'altra versione.

Bibliografia

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  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
  • L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9.

Voci correlate

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