In geometria quadridimensionale, l'esadecacoro (detto anche 16-cella o 4-ortoplesso) è uno dei sei policori regolari. È una naturale estensione in dimensione 4 dell'ottaedro.

Esadecacoro
16-cella
Diagramma di Schlegel del policoro
TipoPolicoro regolare
Forma celletetraedri regolari
Nº celle16 tetraedri regolari
Nº facce32 triangoli equilateri
Nº spigoli24
Nº vertici8
Cuspidi dei vertici
(ottaedro regolare)
Simbolo di Schläfli{3,3,4}
Dualeipercubo
Proprietàconvesso, regolare

Come l'ottaedro è il poliedro duale del cubo, l'iperottaedro è il politopo duale dell'ipercubo.

Descrizione

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Da un punto di vista matematico, una 16-cella è l'inviluppo convesso di 8 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale  , ad esempio:

 

Ogni coppia di vertici, eccetto i vertici opposti, è collegata da uno spigolo.

Come tutti i politopi, l'esadecacoro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

  • L'esadecacoro ha 8 vertici.
  • Ciascuna coppia di vertici, eccetto i vertici opposti, è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 8*6/2 = 24 spigoli.
  • Ciascuna tripla di vertici a coppie non opposti determina una faccia: ci sono quindi 8*6*4/3! = 32 facce (triangolari).
  • Ciascuna 4-upla di vertici a coppie non opposti determina una 3-faccia: ci sono quindi 8*6*4*2/4! = 16 facce tridimensionali (tetraedri).

Ogni vertice è collegato a 6 spigoli, 12 facce e 8 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).

Proiezioni

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Proiezione stereografica
 
Proiezione nello spazio 3-dimensionale di un iperottaedro che ruota contemporaneamente su due piani ortogonali in  .

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo  ).

Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un iperottaedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.

Grafi delle proiezioni ortogonali
 
La 16-cella mostrata in una proiezione ortogonale nel suo poligono di Petrie, con tutti i vertici connessi tra loro tranne quelli opposti.
 
4-ortoplesso in un poligono di Petrie di ordine 6 con 2 vertici proiettati al centro
 
4-ortoplesso in un poligono di Petrie di ordine 4 come un tesseratto alternato
 
Tesseratto

Sviluppo

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La 16-cella ha due costruzioni di Wythoff, una forma regolare e una forma alternata, mostrate qui come sviluppi. La seconda è rappresentata da celle tetraedriche colorate alternativamente con due colori.

Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 16 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

 
Sviluppi dell'esacosicoro (in forma regolare e in forma alternata)

Dualità

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L'iperottaedro è duale del tesseratto.

Relazione di Eulero

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Per questo politopo vale la relazione di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

 

In questo caso 8 + 32 = 24 + 16.

Modello

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Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l'involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l'involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell'una o nell'altra versione.

Bibliografia

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  • Henry Martin Cundy e A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
  • Luigi Berzolari, G. Vivanti e D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1983 [1929], ISBN 88-203-0267-5.

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