Lemma della deformazione

Il lemma della deformazione è un importante risultato nel calcolo delle variazioni, esso è infatti alla base dei metodi variazionali che cercano punti critici tramite il principio del min-max.

Lemma

Sia $E$ uno spazio di Banach e sia $J:E\to \mathbb {R}$ un funzionale di classe $C^{1}$ che soddisfa la condizione di Palais-Smale. Sia $c\in \mathbb {R}$ un valore critico di $J$. Allora, esiste $\epsilon _{0}$ tale che per ogni $0<\epsilon <\epsilon _{0}$ esiste una mappa continua $\eta :\mathbb {R} \times E\to E$, chiamato flusso associato $J$, che soddisfa le seguenti condizioni:

• per ogni $u\in E$, $\eta (0,u)=u$ (ovvero $\eta (0,\cdot ):E\to E$ è l'identità);
• per ogni $t\in \mathbb {R}$ la mappa $\eta (t,\cdot ):E\to E$ è un omeomofismo;
• per ogni $t\in \mathbb {R}$ ed ogni $u\notin J^{-1}([c_{0}-\epsilon ,c_{0}+\epsilon ])$ $\eta (t,u)=u$;
• per ogni $u\in E$, la funzione $t\to J(\eta (t,u))$ è monotona decrescente;
• se $u\in J^{-1}((-\infty ,c+\epsilon ])$ allora $\eta (1,u)\in J^{-1}([-\infty ,c-\epsilon ])$;
• se $J$ è pari allora per ogni $t\in \mathbb {R}$ la mappa $\eta (t,\cdot )$ è dispari.

Bibliografia

• Kesavan, Srinivasan. Nonlinear functional analysis: a first course. Springer, 2004.

Voci correlate

• Calcolo delle variazioni.