Matrice compagna

In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:

$P(X)=c_{0}+c_{1}X+\dots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}$

è la matrice quadrata di ordine n avente $1$ sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di $P$, cambiati di segno, sull'ultima riga:

$C_{P}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &1&\ddots &\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &0\\[1ex]0&\cdots &\cdots &0&1\\[1ex]-c_{0}&-c_{1}&\cdots &\cdots &-c_{n-1}\end{pmatrix}}$

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con $1$ sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di $P$, cambiati di segno, sull'ultima colonna:

$C_{P}^{t}={\begin{pmatrix}0&\cdots &\cdots &0&-c_{0}\\1&\ddots &&\vdots &-c_{1}\\0&1&\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\[1ex]0&\cdots &0&1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}$

Proprietà

• La matrice compagna di $P$ ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a $P$; i suoi autovalori sono le radici di $P$.
• Per ogni radice $\alpha$ di $P$, il vettore $(1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots ,\alpha ^{n-1})^{t}$ è un autovettore di $C_{P}$ con autovalore $\alpha$. In particolare, se tutte le radici di $P$ sono distinte allora $C_{P}$ è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
• Per ogni campo $k$ la matrice $C_{P}$ esprime la moltiplicazione per $X$ sull'anello $k(X)/P(X)$, espresso come spazio vettoriale su $k$ con la base $\{1,X,X^{2},\dots ,X^{n-1}\}$. In particolare, se $P$ è irriducibile su $k$ e $\alpha$ è una sua radice, $C_{P}$ esprime la moltiplicazione per $\alpha$ sul campo $k(\alpha )$.
• Se $A$ è una matrice $n\times n$ su un campo $K$, sono equivalenti gli enunciati:
  • $A$ è simile alla matrice compagna su $k$ del proprio polinomio caratteristico;
  • il polinomio caratteristico di $A$ è uguale al suo polinomio minimo;
  • esiste un vettore $v\in K^{n}$ tale che $\{v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v\}$ è una base di $K^{n}$.

Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice diagonale a blocchi di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di $A$.

Bibliografia

• (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1985, pp. 146–147, ISBN 0-521-30586-1. URL consultato il 10 febbraio 2010.
• (EN) Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .

Voci correlate

• Polinomio
• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice compagna, su MathWorld, Wolfram Research.