Matrice di Cartan

In matematica, il termine matrice di Cartan ha due significati, entrambi ricondotti al matematico francese Élie Joseph Cartan (1869-1951). Tale termine viene assunto come esempio di legge dell'eponimia di Stigler: infatti le matrici di Cartan nel contesto delle algebre di Lie furono inizialmente studiate dal matematico tedesco Wilhelm Killing, mentre il cosiddetto modello di Killing è dovuto ad Élie Cartan.

Algebre di Lie

Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata  $A=(a_{ij})$  con entrate numeri interi tali che:

1. per entrate diagonali  $a_{ii}=2;$
2. per entrate non diagonali  $a_{ij}\leq 0;$
3. $a_{ij}=0$ se e solo se $a_{ji}=0;$
4. $A$  può essere scritta come $DS$, dove $D$ è una matrice diagonale e $S$ è una matrice simmetrica.

La terza condizione non è indipendente, poiché è una conseguenza della prima e della quarta condizione.

È sempre possibile scegliere una matrice $D$ con entrate diagonali positive. In tal caso, se $S$ nella summenzionata scomposizione è una matrice definita positiva, allora $A$ è detta matrice di Cartan.

La matrice di Cartan di una algebra di Lie semplice è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari

$a_{ij}={\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}}$

dove $r_{i}$ sono le radici semplici dell'algebra. Gli elementi sono interi per una delle proprietà delle radici. La prima condizione segue dalla definizione, la seconda dal fatto che per $i\neq j$, il vettore

$v_{r_{i}}(r_{j})=r_{j}-{\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}}\,r_{i}$

è una radice che è una combinazione lineare delle radici semplici $r_{i}$ e $r_{j}$ con un coefficiente positivo per $r_{i}$ e quindi il coefficiente per $r_{i}$ deve essere non negativo.

La terza è vera perché l'ortogonalità è una relazione simmetrica. E infine, siano $D_{ij}={\tfrac {\delta _{ij}}{(r_{i},r_{i})}}$ e $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$. Poiché le radici semplici si estendono in uno spazio euclideo, la matrice $S$ è definita positiva.

Rappresentazione delle algebre a dimensione finita

Nella teoria delle rappresentazioni modulari, e più in generale nella teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensioni finite $A$ che sono non semisemplici, una matrice di Cartan viene definita considerando un numero (limitato) di moduli non scomponibili e scrivendo serie di componenti per essi in termini di moduli proiettivi, ottenendo una matrice di interi che contano il numero di eventi di un modulo proiettivo.

Bibliografia

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• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
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• James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 9, Springer-Verlag, 1972, pp. 55–56, ISBN 0-387-90052-7.
• Victor G. Kac, Infinite Dimensional Lie Algebras, 3rd, Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-46693-6.

Voci correlate

• Diagramma di Dynkin
• Algebra di Lie
• Teoria dei gruppi

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice di Cartan, su MathWorld, Wolfram Research.