Matrice tridiagonale

In algebra lineare una matrice tridiagonale è una matrice quadrata che al di fuori della diagonale principale e delle linee immediatamente al di sopra e al di sotto di essa (la prima sovradiagonale e la prima sottodiagonale), ha solo valori nulli (0). Nella diagonale principale, nella prima sovradiagonale e nella prima sottodiagonale, invece, può esserci qualunque valore (compreso il valore nullo). È banale dire che, se anche la diagonale principale, la prima sovradiagonale e la prima sottodiagonale hanno tutti i valori nulli, la matrice diventa una matrice nulla, rimanendo una matrice tridiagonale. Anche la matrice diagonale è una matrice tridiagonale.

Ogni matrice quadrata di ordine 1 o 2 è automaticamente tridiagonale. Un altro esempio di matrice tridiagonale è

${\begin{pmatrix}1&4&0&0\\3&4&1&0\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{pmatrix}}$

Proprietà

Le matrici tridiagonali sono un caso particolare di matrici a banda, i cui elementi non zero stanno su alcune diagonali consecutive. In particolare, una matrice tridiagonale è contemporaneamente una matrice di Hessenberg superiore e inferiore (ovvero ha nulli sia tutti gli elementi sotto la prima sottodiagonale sia tutti quelli sopra la prima sovradiagonale).

Applicazioni

Dal punto di vista computazionale, le matrici tridiagonali generalizzano le matrici diagonali quanto le matrici di Hessenberg generalizzano le matrici triangolari: si possono ottenere in più casi ma mantengono una sensibile diminuzione di sforzo computazionale rispetto a quello richiesto per generiche matrici quadrate. In particolare, una matrice di Hessenberg hermitiana o simmetrica è una matrice tridiagonale.

In meccanica quantistica vengono talvolta utilizzate matrici tridiagonali di ordine infinito (numerabile).

Sistema di equazioni

Un sistema $Ax=b$ con $A$ tridiagonale è detto tridiagonale. Esiste un algoritmo efficiente per la sua soluzione, che ha una complessità di $O(n)$.

Voci correlate

• Glossario sulle matrici

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice tridiagonale, su MathWorld, Wolfram Research.