Misura gaussiana

In matematica, una misura gaussiana è una misura di Borel su uno spazio euclideo finito-dimensionale Rⁿ, strettamente correlata alla distribuzione normale in statistica. Esiste anche una generalizzazione a spazi infinito-dimensionali. Le misure gaussiane portano il nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. Una ragione per la quale le misure gaussiane sono così diffuse nella teoria della probabilità è il teorema del limite centrale. In parole povere, esso stabilisce che se una variabile casuale X è ottenuta sommando un gran numero N di variabili casuali indipendenti di ordine 1, allora X è di ordine ${\sqrt {N}}$ e la sua legge è approssimativamente gaussiana.

Definizioni

Sia n ∈ N e indichiamo con B₀(Rⁿ) il completamento della 'σ-algebra di Borel su Rⁿ. Indichiamo con λⁿ : B₀(Rⁿ) → [0, +∞] l'usuale misura di Lebesgue n-dimensionale. Allora la misura gaussiana standard γⁿ : B₀(Rⁿ) → [0, 1] è definita da

$\gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|x\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)$

per ogni insieme misurabile A ∈ B₀(Rⁿ). In termini della derivata di Radon-Nikodym,

${\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|x\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).$

Più in generale, la misura gaussiana con media μ ∈ Rⁿ e varianza σ² > 0 è data da

$\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\|x-\mu \|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).$

Le misure gaussiane con media μ = 0 sono note come misure gaussiane centrate.

La misura di Dirac δ_μ è il limite debole di $\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}$ per σ → 0, ed è considerata una misura gaussiana degenere; viceversa, le misure gaussiane con varianza finita non nulla sono chiamate misure gaussiane non degeneri.

Proprietà

La misura gaussiana standard γⁿ su Rⁿ

• è una misura di Borel (infatti, come osservato sopra, essa è definita sul completamento della 'σ-algebra di Borel, che è una struttura più raffinata);
• è equivalente alla misura di Lebesgue: $\lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}$, dove $\ll$ sta per continuità assoluta delle misure;
• è supportata in tutto lo spazio euclideo: supp(γⁿ) = Rⁿ;
• è una misura di probabilità (γⁿ(Rⁿ) = 1), sicché è localmente finita;
• è strettamente positiva: ogni insieme aperto non vuoto ha una misura positiva;
• è regolare interna: per ogni insieme di Borel A,

$\gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)|K\subseteq A,K{\mbox{ is compact}}\},$

sicché la misura gaussiana è una misura di Radon;

• non è invariante per traslazione, ma soddisfa la relazione

${\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),$

dove la derivata al membro sinistro è la derivata di Radon-Nikodym, e (T_h)_∗(γⁿ) è la misura immagine (pushforward measure) della misura gaussiana standard data dalla trasformazione di traslazione T_h : Rⁿ → Rⁿ, T_h(x) = x + h;

• è la misura di probabilità associata ad una distribuzione di probabilità normale:

$Z\sim \mathrm {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).$

Misure gaussiane su spazi infinito-dimensionali

Si può dimostrare che non esiste un analogo della misura di Lebesgue in uno spazio vettoriale infinito-dimensionale. Comunque, è possibile definire misure gaussiane in spazi infinito-dimensionali; l'esempio più importante è la costruzione dello spazio di Wiener astratto. Una misura di Borel γ in uno spazio di Banach separabile E è detta misura gaussiana (centrata) non degenere se, per ogni funzionale lineare L ∈ E^∗ eccetto L = 0, la misura immagine L_∗(γ) è una misura gaussiana (centrata) non degenere su R nel senso definito sopra.

Per esempio, la misura di Wiener classica sullo spazio degli archi continui è una misura gaussiana.

Voci correlate

• Misura di Besov, una generalizzazione di misura gaussiana
• Teorema di Cameron-Martin